Чему равна pi. Вычисление с нужной точностью числа пи. Понятие числа пи
Для вычисления сколько-нибудь большого количества знаков пи предыдущий способ уже не годится. Но существует большое количество последовательностей, сходящихся к Пи гораздо быстрее. Воспользуемся, например, формулой Гаусса:
| p | = 12arctan | 1 | + 8arctan | 1 | - 5arctan | 1 |
| 4 | 18 | 57 | 239 |
Доказательство этой формулы несложное, поэтому мы его опустим.
Исходник программы, включающий в себя "длинную арифметику"
Программа вычисляет NbDigits первых цифр числа Пи. Функция вычисления arctan названа arccot, так как arctan(1/p) = arccot(p), но расчет происходит по формуле Тейлора именно для арктангенса, а именно arctan(x) = x - x 3 /3 + x 5 /5 - ... x=1/p, значит arccot(x) = 1/p - 1 / p 3 / 3 + ... Вычисления происходят рекурсивно: предыдущий элемент суммы делится и дает следующий.
/* ** Pascal Sebah: September 1999 ** ** Subject: ** ** A very easy program to compute Pi with many digits. ** No optimisations, no tricks, just a basic program to learn how ** to compute in multiprecision. ** ** Formulae: ** ** Pi/4 = arctan(1/2)+arctan(1/3) (Hutton 1) ** Pi/4 = 2*arctan(1/3)+arctan(1/7) (Hutton 2) ** Pi/4 = 4*arctan(1/5)-arctan(1/239) (Machin) ** Pi/4 = 12*arctan(1/18)+8*arctan(1/57)-5*arctan(1/239) (Gauss) ** ** with arctan(x) = x - x^3/3 + x^5/5 - ... ** ** The Lehmer"s measure is the sum of the inverse of the decimal ** logarithm of the pk in the arctan(1/pk). The more the measure ** is small, the more the formula is efficient. ** For example, with Machin"s formula: ** ** E = 1/log10(5)+1/log10(239) = 1.852 ** ** Data: ** ** A big real (or multiprecision real) is defined in base B as: ** X = x(0) + x(1)/B^1 + ... + x(n-1)/B^(n-1) ** where 0<=x(i) Work with double instead of long and the base B can ** be choosen as 10^8 ** => During the iterations the numbers you add are smaller ** and smaller, take this in account in the +, *, / ** => In the division of y=x/d, you may precompute 1/d and ** avoid multiplications in the loop (only with doubles) ** => MaxDiv may be increased to more than 3000 with doubles ** => ... */ #includeКонечно, это не самые эффективные способы вычисления числа пи. Существует еще громадное количество формул. Например, формула Чудновского (Chudnovsky), разновидности которой используются в Maple. Однако в обычной практике программирования формулы Гаусса вполне хватает, поэтому эти методы не будут описываться в статье. Вряд ли кто-то хочет вычислять миллиарды знаков пи, для которых сложная формула дает большое увеличение скорости.
14 мар 2012
14 марта математики отмечают один из самых необычных праздников - Международный день числа «Пи». Эта дата выбрана неслучайно: числовое выражение π (Пи) - 3,14 (3 месяц (март) 14 число).
Впервые с этим необычным числом школьники сталкиваются уже в младших классах при изучении круга и окружности. Число π - математическая константа, которая выражает отношение длины окружности к длине ее диаметра. Т.е если взять окружность с диаметром равным единице, то длина окружности и будет равна числу «Пи». Число π имеет бесконечную математическую продолжительность, но в повседневных вычислениях используют упрощенное написание числа, оставляя только два знака после запятой, - 3,14.
В 1987 году этот день отмечался впервые. Физик Ларри Шоу из Сан-Франциско заметил, что в американской системе записи дат (месяц / число) дата 14 марта - 3/14 совпадает с числом π (π = 3,1415926…). Обычно празднования начинаются в 1:59:26 дня (π = 3,1415926 …).
История числа «Пи»
Предполагается, что история числа π начинается в Древнем Египте. Египетские математики определяли площадь круга диаметром Dкак (D-D/9) 2 . Из данной записи видно, что в то время число π приравнивали к дроби (16/9) 2 , или 256/81, т.е. π 3,160...
В VI в. до н.э. в Индии в религиозной книге джайнизма есть записи, свидетельствующие о том, что число π в то время принимали равным квадратному корню из 10, что даёт дробь 3,162...
В III в. до н.э.Архимед в своей небольшой работе "Измерение круга" обосновал три положения:
- Всякий круг равновелик прямоугольному треугольнику, катеты которого соответственно равны длине окружности и её радиусу;
- Площади круга относятся к квадрату, построенному на диаметре, как 11 к 14;
- Отношение любой окружности к её диаметру меньше 3 1/7 и больше 3 10/71.
Последнее положение Архимед обосновал последовательным вычислением периметров правильных вписанных и описанных многоугольников при удвоении числа их сторон. По точным расчётам Архимеда отношение окружности к диаметру заключено между числами 3*10 / 71и 3*1/7, а это означает, что число «пи» равно 3,1419... Истинное значение этого отношения 3,1415922653...
В V в. до н.э. китайский математик Цзу Чунчжи нашёл более точное значение этого числа: 3,1415927...
Впервой половине XV в. астроном и математикал-Каши вычислил π с 16 десятичными знаками.
Спустя полтора столетия в Европе Ф.Виетнашёл число π только с 9 правильными десятичными знаками: он сделал 16 удвоений числа сторон многоугольников. Ф.Виетпервым заметил, что π можно отыскать, используя пределы некоторых рядов. Это открытие имело большое значение, оно позволило вычислить π с какой угодно точностью.
В 1706 г английский математик У.Джонсон ввёл обозначение отношения длины окружности к диаметру и обозначил его современным символом π первой буквой греческого слова periferia-окружность.
На протяжении длительного периода времени учёные всего мира пытались разгадать тайну этого загадочного числа.
В чем же сложность вычисления значения π ?
Число π является иррациональным: его невозможно выразить в виде дроби p/q, где p и q целые числа, данное число не может быть корнем алгебраического уравнения. Нельзя указать алгебраическое или дифференциальное уравнение, корнем которого будет π, поэтому данное число называется трансцендентным и вычисляется путём рассмотрения какого-либо процесса и уточняется за счет увеличения шагов рассматриваемого процесса. Множественные попытки просчитать максимальное количество знаков числа π привели к тому, что сегодня, благодаря современной вычислительной технике, можно рассчитать последовательность с точностью в 10 триллионов цифр после запятой.
Цифры десятичного представления числа π достаточно случайны. В десятичном разложении числа можно найти любую последовательность цифр. Предполагают, что в данном числе в зашифрованном виде есть все написанные и ненаписанные книги, любая информация, которую только можно представить, находится в числе π.
Можете сами попробовать разгадать тайну этого числа самостоятельно. Записать число «Пи» полностью, конечно не получится. Но самым любопытным предлагаю рассмотреть первые 1000 знаковчисла π = 3,
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989
Запоминаем число «Пи»
В настоящее время с помощью вычислительной техники вычислено в десять триллионов знаков числа «Пи». Максимальное число цифр, которое смог запомнить человек составляет сто тысяч.
Чтобы запомнить максимальное количество знаков числа «Пи», используют различные стихотворные «запоминалки», в которых слова с определённым количеством букв располагаются в такой же последовательности, как цифры в числе «Пи»: 3,1415926535897932384626433832795…. Для восстановления числа необходимо подсчитать число символов в каждом из слов и записать по порядку.
Вот и знаю я число, именуемое "Пи". Молодец! (7 цифр)
Вот и Миша и Анюта прибежали
Пи узнать число они желали. (11 цифр)
Это я знаю и помню прекрасно:
Пи многие знаки мне лишни, напрасны.
Доверимся знаньям громадным
Тех, пи кто сосчитал, цифр армаду. (21 цифра)
Раз у Коли и Арины
Распороли мы перины.
Белый пух летал, кружился,
Куражился, замирал,
Ублажился,
Нам же дал
Головную боль старух.
Ух, опасен пуха дух! (25 знаков)
Можно использовать рифмованные строки, которые помогают запомнить нужное число.
Чтобы нам не ошибиться,
Нужно правильно прочесть:
Девяносто два и шесть
Если очень постараться,
Можно сразу пи прочесть:
Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девяносто два и шесть.
Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девять, два, шесть, пять, три, пять.
Чтоб наукой заниматься,
Это каждый должен знать.
Можно просто постараться
И почаще повторять:
«Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девять, двадцать шесть и пять».
Остались вопросы? Хотите знать больше о числе "Пи"?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.
Первый урок – бесплатно!
***
Что общего между колесом от Лады Приоры, обручальным кольцом и блюдцем вашего кота? Вы, конечно, скажете красота и стиль, но я осмелюсь с вами поспорить. Число Пи! Это число, объединяющее все окружности, круги и округлости, к коим в частности можно отнести и мамино кольцо, и колесо от любимой папиной машины и даже блюдце любимого кота Мурзика. Готов поспорить, что в рейтинге самых популярных физических и математических констант число Пи несомненно займет первую строчку. Но что скрывается за ним? Может какие-то страшные ругательства математиков? Давайте попробуем разобраться в этом вопросе.
Что же такое число «Пи» и откуда оно взялось?
Современное обозначение числа π (Пи) появилось благодаря английскому математику Джонсону в 1706 году. Это первая буква греческого слова περιφέρεια (периферия, или окружность) . Для тех, кто проходил математику давно, да и к тому же мимо, напомним, что число Пи — это отношение длины окружности к её диаметру. Величина является константой, то есть постоянна для любой окружности, независимо от её радиуса. Люди знали об этом еще в древности. Так в древнем Египте число Пи принимали равным отношению 256 / 81 , а в ведических текстах приводится значение 339 / 108 , Архимед же предлагал соотношение 22 / 7 . Но ни эти, ни многие другие способы выражения числа Пи не давали точный результат.
Оказалось, что число Пи трансцендентное, соответственно, и иррациональное. А это значит, его нельзя представить в виде простой дроби. Если же его выразить через десятичную, то последовательность цифр после запятой устремятся в бесконечность, к тому же периодически не повторяясь. Что все это значит? Очень просто. Хотите узнать номер телефона понравившейся девушки? Его наверняка можно найти в последовательности цифр после запятой числа Пи.
Телефон можно посмотреть здесь ↓
Число Пи с точностью до 10000 знаков.
π= 3,
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989..
Не нашли? Тогда посмотрите .
Вообще это может быть не только номер телефона, а любая информация, закодированная с помощью цифр. К примеру, если представить все произведения Александра Сергеевича Пушкина в цифровом виде, то они хранились в числе Пи еще до того, как он их написал, даже до того, как он родился. В принципе, они хранятся там до сих пор. Кстати, ругательства математиков в π тоже присутствуют, да и не только математиков. Словом, в числе Пи есть всё, даже мысли, которые посетят вашу светлую голову завтра, послезавтра, через год, а может, через два. В это очень трудно поверить, но даже если мы представим, что поверили, еще труднее будет получить оттуда информацию и расшифровать её. Так что вместо того, чтобы копаться в этих цифрах, может проще подойти к понравившейся девушке и спросить у неё номер?.. Но для тех, кто не ищет легких путей, ну или просто интересующихся, чему же равно число Пи, предлагаю несколько способов его вычисления. Считайте на здоровье.
Чему равно число Пи? Методы его вычисления:
1. Экспериментальный метод. Если число Пи это отношение длины окружности к её диаметру, то первый, пожалуй, самый очевидный способ нахождения нашей загадочной константы будет вручную произвести все измерения и вычислить число Пи по формуле π=l/d. Где l - длина окружности, а d — её диаметр. Все очень просто, необходимо лишь вооружится ниткой для определения длины окружности, линейкой для нахождения диаметра, и, собственно, длины самой нитки, ну и калькулятором, если у вас проблемы с делением в столбик. В роли измеряемого образца может выступить кастрюля или банка из под огурцов, неважно, главное? чтоб в основании была окружность.
Рассмотренный способ вычисления самый простой, но, к сожалению, имеет два существенных недостатка, отражающихся на точности полученного числа Пи. Во-первых, погрешность измерительных приборов (в нашем случае это линейка с ниткой), а во-вторых, нет никакой гарантии, что измеряемая нами окружность будет иметь правильную форму. Поэтому не удивительно, что математика подарила нам множество других методов вычисления π, где нет нужды производить точные измерения.
2. Ряд Лейбница.
Существует несколько бесконечных рядов, позволяющих точно вычислять число Пи до большого количества знаков после запятой. Одним из самых простых рядов является ряд Лейбница. π = (4/1) — (4/3) + (4/5) — (4/7) + (4/9) — (4/11) + (4/13) — (4/15) …
Все просто: берем дроби с 4 в числителе (это то что сверху) и одним числом из последовательности нечетных чисел в знаменателе (это то что снизу), последовательно складываем и вычитаем их друг с другом и получаем число Пи. Чем больше итераций или повторений наших нехитрых действий, тем точнее результат. Просто, но не эффективно, к слову, необходимо 500000 итераций чтоб получить точное значение числа Пи с десятью знаками после запятой. То есть, нам придется несчастную четверку разделить аж 500000 раз, а помимо этого полученные результаты мы должны будем 500000 раз вычитать и складывать. Хотите попробовать?
3. Ряд Нилаканта. Нет времени возится с рядом Лейбница? Есть альтернатива. Ряд Нилаканта, хотя он немного сложнее, но позволяет быстрее получить нам искомый результат. π = 3 + 4/(2*3*4) — 4/(4*5*6) + 4/(6*7*8) — 4/(8*9*10) + 4/(10*11*12) — (4/(12*13*14) … Думаю, если внимательно посмотреть на приведенный начальный фрагмент ряда, все становится ясным, и комментарии излишни. По этому идем дальше.
4. Метод «Монте-Карло» Довольно интересным методом вычисления числа Пи является метод Монте Карло. Столь экстравагантное название ему досталось в честь одноименного города в королевстве Монако. И причина тому случайность. Нет, его не назвали случайно, просто в основе метода лежат случайные числа, а что может быть случайней чисел, выпадающих на рулетках казино Монте Карло? Вычисление числа Пи не единственное применение этого метода, так в пятидесятых годах его использовали при расчетах водородной бомбы. Но не будем отвлекаться.
Возьмем квадрат со стороной, равной 2r , и впишем в него круг радиусом r . Теперь если наугад ставить точки в квадрате, То вероятность P того, что точка угодит в круг, есть отношение площадей круга и квадрата. P=S кр /S кв =2πr 2 /(2r) 2 =π/4 .
Теперь отсюда выразим число Пи π=4P . Остается только получить экспериментальные данные и найти вероятность Р как отношение попаданий в круг N кр к попаданиям в квадрат N кв . В общем виде расчетная формула будет выглядеть следующим образом: π=4N кр / N кв.
Хочется отметить, что для того, чтобы реализовать этот метод, в казино идти необязательно, достаточно воспользоваться любым более или менее приличным языком программирования. Ну а точность полученных результатов будет зависеть от количества поставленных точек, соответственно, чем больше, тем точнее. Желаю удачи 😉
Число Тау
( Вместо заключения).
Люди, далекие от математики, скорее всего не знают, но так сложилось, что число Пи имеет брата, который больше его в два раза. Это число Тау(τ) , и, если Пи — это отношение длины окружности к диаметру, то Тау — это отношение этой длины к радиусу. И на сегодняшний день есть предложения некоторых математиков отказаться от числа Пи и заменить его на Тау, так как это во многом более удобно. Но пока это только предложения, и как говорил Лев Давидович Ландау: «Новая теория начинает господствовать тогда, когда вымрут сторонники старой».
Число π показывает, во сколько раз длина окружности больше ее диаметра. Неважно, какого размера окружность, - как заметили по меньшей мере еще 4 тыс. лет назад, соотношение всегда остается одним и тем же. Вопрос только, чему оно равняется.
Чтобы высчитать его приблизительно, достаточно обыкновенной нитки. Грек Архимед в III веке до н.э. применял более хитрый способ. Он чертил внутри и снаружи окружности правильные многоугольники. Складывая длины сторон многоугольников, Архимед все точнее определял вилку, в которой находится число π, и понял, что оно приблизительно равно 3,14.
Методом многоугольников пользовались еще почти 2 тыс. лет после Архимеда, это позволило узнать значение числа π вплоть до 38-й цифры после запятой. Еще один-два знака - и можно с точностью до атома рассчитать длину окружности с диаметром как у Вселенной.
Пока одни ученые использовали геометрический метод, другие догадались, что число π можно рассчитывать, складывая, вычитая, деля или умножая другие числа. Благодаря этому "хвост" вырос до нескольких сотен цифр после запятой.
С появлением первых вычислительных машин и особенно современных компьютеров точность повысилась на порядки - в 2016 году швейцарец Петер Трюб определил значение числа π до 22,4 трлн знаков после запятой . Если напечатать этот результат в строчку 14-м кеглем нормальной ширины, то запись получится немногим короче, чем среднее расстояние от Земли до Венеры.
В принципе ничто не мешает добиться еще большей точности, но для научных расчетов в этом давно нет нужды - разве что для тестирования компьютеров, алгоритмов и для исследований в математике. А исследовать есть что. Даже про само число π известно не все. Доказано, что оно записывается в виде бесконечной непериодической дроби , то есть цифрам после запятой нет предела, и они не складываются в повторяющиеся блоки. Но вот с одинаковой ли частотой появляются цифры и их комбинации, неясно. Судя по всему, это так, но пока никто не привел строгого доказательства.
Дальнейшие вычисления проводятся в основном из спортивного интереса - и по той же причине люди пытаются запомнить как можно больше цифр после запятой. Рекорд принадлежит индийцу Раджвиру Мине, который в 2015 году назвал на память 70 тыс. знаков , сидя с завязанными глазами почти десять часов.
Наверное, чтобы превзойти его результат, нужен особый талант. Но просто удивить друзей хорошей памятью способен каждый. Главное - использовать одну из мнемонических техник, которая потом может пригодиться и для чего-нибудь еще.
Структурировать данные
Самый очевидный способ - разбить число на одинаковые блоки. Например, можно представить π как телефонную книгу с десятизначными номерами, а можно - как причудливый учебник истории (и будущего), где перечислены годы. Много так не запомнишь, но, чтобы произвести впечатление, хватит и пары десятков знаков после запятой.
Превратить число в историю
Считается, что самый удобный способ запомнить цифры - придумать историю, где им будет соответствовать количество букв в словах (ноль было бы логично заменить пробелом, но тогда большинство слов сольется; вместо этого лучше использовать слова из десяти букв). По этому принципу построена фраза "Можно мне большую упаковку кофейных зерен?" на английском языке:
May - 3,
have - 4
large - 5
container - 9
coffee - 6
beans - 5
В дореволюционной России придумали похожее предложение: "Кто и шутя и скоро пожелает(ъ) Пи узнать число, уже знает(ъ)". Точность - до десятого знака после запятой: 3,1415926536. Но проще запомнить более современный вариант: "Она и была, и будет уважаемая на работе". Есть и стихотворение: "Это я знаю и помню прекрасно - пи, многие знаки мне лишни, напрасны". А советский математик Яков Перельман сочинил целый мнемонический диалог:
Что я знаю о кругах? (3,1415)
Вот и знаю я число, именуемое пи - молодец! (3,1415927)
Учи и знай в числе известном за цифрой цифру, как удачу примечать! (3,14159265359)
Американский математик Майкл Кит и вовсе написал целую книгу Not A Wake, в тексте которой содержится информация о первых 10 тыс. цифр числа π.
Заменить цифры буквами
Кому-то легче запомнить бессвязные буквы, чем случайные цифры. В этом случае цифры заменяются первыми буквами алфавита. Первое слово в названии рассказа Cadaeic Cadenza Майкла Кита появилось именно таким образом. Всего в этом произведении закодировано 3835 знаков числа пи - правда, тем же способом, что в книге Not a Wake.
В русском языке для подобных целей можно использовать буквы от А до И (последняя будет соответствовать нолю). Насколько удобно будет запоминать составленные из них комбинации - вопрос открытый.
Придумать образы для комбинаций цифр
Чтобы добиться по-настоящему выдающихся результатов, предыдущие методы не годятся. Рекордсмены используют технику визуализации: изображения запомнить легче, чем цифры. Сначала нужно сопоставить каждую цифру с согласной буквой. Получится, что каждому двухзначному числу (от 00 до 99) соответствует двухбуквенное сочетание.
Допустим, один - это "н", четыр е - "р", пят ь - "т". Тогда число 14 - это "нр", а 15 - "нт". Теперь эти пары следует дополнить другими буквами, чтобы получилось слова, например, "н ор а" и "н ит ь". Всего понадобится сто слов - вроде бы много, но за ними стоят всего десять букв, поэтому запомнить не так уж сложно.
Число π предстанет в уме как последовательность образов: три целых, нора, нить и т.п. Чтобы лучше запомнить эту последовательность, изображения можно нарисовать или распечатать на принтере и поставить перед глазами. Некоторые люди просто раскладывают соответствующие предметы по комнате и вспоминают числа, разглядывая интерьер. Регулярные тренировки по этому методу позволят запомнить сотни и даже тысячи знаков после запятой - или любую другую информацию, ведь визуализировать можно не только числа.
Марат Кузаев, Кристина Недкова
Значение числа (произносится «пи» ) — математическая константа, равная отношению
Обозначается буквой греческого алфавита «пи». Старое название — лудольфово число .
Чему равно число пи? В простых случаях хватает знать первые 3 знака (3,14). Но для более
сложных случаев и там, где нужна бОльшая точность необходимо знать больше, чем 3 цифры.
Какое число пи? Первые 1000 знаков числа пи после запятой:
3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989...
В обычных условиях приблизительное значение числа пи можно вычислить следуя пунктам,
приведенным ниже:
- Берем круг , обматываем по его краю нить один раз.
- Измеряем длину нити.
- Измеряем диаметр круга.
- Делим длину нити на длину диаметра. Получили число пи.
Свойства числа Пи.
- пи — иррациональное число , т.е. значение числа пи не возможно точно выразить в виде
дроби m/n , где m и n являются целыми числами . Из этого видно, что десятичное представление
числа пи никогда не заканчивается и оно не является периодическим.
- пи — трансцендентное число, т.е. оно не может быть корнем какого-либо многочлена с целыми
коэффициентами. В 1882 году профессор Кёнигсбергский доказал трансцендентность числа пи , а
позднее, профессором Мюнхенского университета Линдеманом. Доказательство упростил
Феликс Клейн в 1894 году.
- так как в евклидовой геометрии площадь круга и длина окружности - это функции числа пи,
то доказательство трансцендентности пи дало конец спору о квадратуре круга, длившемуся более
2,5 тысяч лет.
- пи является элементом кольца периодов (то есть, вычислимым и арифметическим числом).
Но никто не знает, принадлежит ли к кольцу периодов.
Формула числа пи.
- Франсуа Виет:
- Формула Валлиса:
- Ряд Лейбница:
- Другие ряды: