Теория пар сил. Теоремы о парах. Приведение системы пар сил к простейшему виду или сложение пар сил Как складываются пары сил в пространстве

Эквивалентность: А) 2 пары, имеющие равные моменты, эквивалентны. Пару сил можно перемещать, поворачивать в плоскости действия, перемещать в параллельную плоскость, менять одновременно силу и плечо.

Б) 2 пары, лежащие в одной плоскости, можно заменить на одну пару, лежащую в той же плоскости с моментом, равным сумме моментов этих пар.

M=M(R,R’)=BA ×R =BA ×(F 1 +F 2)=BA ×F 1 +BA ×F 2 . При переносе сил вдоль линии действия момент пары не меняется Þ BA ×F 1 =M 1 , BA ×F 2 =M 2 , M=M 1 +M 2 .

СЛОЖЕНИЕ. 2 пары, лежащие в пересекающихся плоскостях, эквивалентны 1 паре, момент которой равен сумме моментов двух данных пар.

Дано: (F 1 , F 1 ’), (F 2 , F 2 ’)

Доказательство:

Приведем данные силы к плечу АВ – оси пересечения плоскостей. Получим пары:

(Q 1 ,Q 1 ’) и (Q 2 ,Q 2 ’). При этом M 1 =M (Q 1 ,Q 1 ’)=M (F 1 , F 1 ’),

M 2 =M (Q 2 ,Q 2 ’)=M (F 2 , F 2 ’).

Сложим силы R =Q 1 +Q 2 , R’ =Q 1 ’+Q 2 ’. Т. к. Q 1 ’= -Q 1 , Q 2 ’= -Q 2 Þ R = -R ’. Доказано, что система двух пар эквивалентна системе (R ,R ’). M (R ,R ’)=BA ×R =BA ×(Q 1 +Q 2)= BA ×Q 1 +BA ×Q 2 =M (Q 1 ,Q 1 ’)+ M (Q 2 ,Q 2 ’)=M (F 1 ,F 1 ’)+ M (F 2 ,F 2 ’) Þ M =M 1 +M 2 .

УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ:

Система находится в равновесии, если суммарный момент всех пар сил, действующих на тело, равен нулю.

M 1 +M 2 +…+M n =0.

Билет №2.

1. Координатный способ задания движения точки (прямоугольная декартова система координат). Траектория, скорость, ускорение точки.
2. Аксиомы статики.

Декартова система координат.

Вектор r можно разложить по базису I , j , k : r =xi +yj +zk .

Движение материальной точки полностью определено, если заданы три непрерывные и однозначные функции от времени t: x=x(t), y=y(t), z=z(t), описывающие изменение координат точки со временем. Эти уравнение называются кинематическими уравнениями движения точки. Радиус-вектор r является функцией переменных x, y, z, которые, в свою очередь, являются функциями времени t. Поэтому производная r ׳(t) может быть вычислена по правилу

dr /dt=∂r /∂x∙dx/dt+∂r /∂y∙dy/dt+∂r /∂z∙dz/dt.

Отсюда вытекает, что v =v x i +v y j +v z k.

V=√ (v x ²+v y ²+v z ²)

Ускорением точки в данный момент времени назовем вектор а , равный производной от вектора скорости v по времени. А =x׳׳(t)I +y׳׳(t)j +z׳׳(t)k .

А=√((x׳׳(t))²+(y׳׳(t))²+(z׳׳(t))²)

Аксиомы статики.

1) 2 силы, приложенные к абс. твердому телу будут эквивалентны 0 тогда и только тогда, когда они равны по модулю, действуют на одной прямой и направлены в противоположные стороны.

2) Действие данной системы сил на абсолютно твердое тело не изменится, если к ней добавить или отнять систему сил, эквивалентную 0 => точку приложения силы можно переносить вдоль линии её действия.

3) Если к телу приложены 2 силы, исходящие из одной точки, то их можно заменить равнодействующей (любую силу можно разложить на составляющие бесконечное число раз).

4) Силы взаимодействия двух тел равны по модулю и противоположны по направлению.

Действие связей можно заменить действием сил – реакций связи.

Билет №3.

1. Естественный способ задания движения точки. Траектория, скорость, ускорение точки.
2. Алгебраический и векторный момент силы относительно точки.

Естественный способ.

Если задана траектория движения точки, выбрано начало и положительное направление отсчета и известна S=S(t) зависимость пути от времени, то такой способ задания движения точки называется естественным. V=dr /dt∙dS/dS=S׳(t)∙dr /dS=S׳(t)∙τ = =v τ ∙τ. Dr /dS=τ . Τ направлена всегда в «+» направлении отсчета S.

A =dv /dt=S׳׳(t)∙τ +S׳(t)∙dτ /dt=S׳׳∙τ+ (S׳)²n /ρ. A τ =S׳׳-тангенциальное ускорение, a n =(S׳)²/ρ-нормальное (центростремительное) ускорение, ρ-радиус кривизны.

A=√((a τ)²+(a n)²).

Векторный и алгебраический момент пары сил.

Алгебраический момент M=±F∙d (пара). M=±dF 1 =±dF 2 =±2S ΔABC = ±S ٱ . Он не меняется при перемещении сил вдоль линии их действия (ни плечо, ни направление вращения не меняются).

Векторный момент – вектор M =M (F ,F’ ), направлен перпендикулярно плоскости пары в ту сторону, откуда видно стремление пары повернуть тело против часовой хода стрелки, его модуль равен алгебраическому моменту пары.

M (F 1 ,F 2)=BA xF 1 =AB xF 2 .

Моменты относительно точки.

Алгебраическим моментом силы F относительно точки О называется взятое со знаком «+» или «-» произведение |F | на её плечо: M O (F )=±Fh=±2S ΔOAB ∙ M O (F). «+» - против часовой стрелки. Характеризует вращательный эффект F .

Свойства:

А) Не меняется при переносе точки приложения вдоль линии действия силы. (т.к. |F |sinα= const).

Б) Ь=0 если т. О лежит на линии действия силы.

Плоскость действия M – через F и O.

Векторный момент силы F относительно точки О – вектор M O (F )=r xF (r – радиус- вектор из А в О). |M O (F )|=|F |∙|r |∙sinα=Fh.

M O (F )= x A y A z A =>

ð M Ox (F )=yF z -zF y

ð M Oy (F )=zF x -xF z

M Oz (F )=xF y -yF x

Билет №4.

1. Координатный способ задания движения точки (полярная система координат). Траектория, скорость, ускорение точки.
2. Пара сил. Теорема о сумме моментов сил, составляющих пару, относительно произвольной точки.

Полярные координаты

Ox – полярная ось, φ – полярный угол, r – полярный радиус. Если задан закон r=r(t), φ=φ(t), то задано движение в полярной системе координат. Пусть r =rº r, rº - единичный вектор, pº┴rº - единичный вектор. Тогда v =dr /dt=r׳rº +

rdrº /dt=r׳rº +rφ׳pº =v r rº +v p pº. v p и v r – трансверсальная и радиальная составляющая скорости. A =dv /dt=d(r׳rº +rφ׳pº )/ dt=r׳׳rº +r׳ drº /dt+r׳φ׳pº +rφ׳׳pº +rφ׳∙

dpº /dt=(r׳׳-(rφ׳)²)rº +(rφ׳׳+2r׳φ׳)pº = a r ∙rº +a p pº .

r²=x²+y², φ=arctg(y/x).

10. Свойства пар сил. Эквивалентность пар. Теоремы об эквивалентности пар.

Свойства пар сил:

Не изменяя действия на тело пару сил можно поворачивать в плоскости действия и переносить в любое место этой плоскости

Можно изменять модули сил, составляющих пару и плечо пары, но таким образом, чтобы момент пары оставался неизменным.

Пару сил можно переносить в параллельную ей плоскость действия.

Две пары сил называются эквивалентными , если они имеют геометрически равные моменты.

Поэтому пара сил характеризуется при решении задач лишь моментом пары и обозначается m=M0(F1;F2).

т-мы: (1)Две пары сил произвольно расположенных в пространстве эквивалентны одной паре сил с моментом, равным геометрической сумме моментов слагаемых пар. (2) еси на тело действует произвольная система пар, то ветор момента результирующей пары равен векторной сумме моментов составляющих пар. (3)Если все пары сил расположены перпендикулярно одной плоскости, то вектора моментов пар направлены перпендикулярно этой плоскости в ту или иную сторону, поэтому моменты пар можно складывать алгебраически. (4) для равновесия тела, находящегося под действием системы произвольно расположенной в пространстве пар необходимо и достаточно, чтобы момент результирующей пары был равен 0.

10. Сложение пар сил. Условие равновесия системы пар сил.

Теорема о сложении пар сил:

Две пары сил, произвольно расположенные в пространстве, эквивалентны одной паре с моментом равным геометрической сумме моментов слагаемых пар.

Если на тело действует произвольная система (М1,М2,…,Мn) пар, то вектор момента результирующей пары равен векторной сумме моментов, составляющих пары. M=M1+M2+…+Mn=ΣMk (сверху векторы)

Если две пары сил расположены в одной плоскости, то векторы моментов пар направлены перпендикулярно этой плоскости в ту или иную стороны. Поэтому моменты пар можно складывать алгебраически. M=M1+M2+…+Mn=ΣMk

Условие равновесия системы пар сил:

Для равновесия тела, находящегося под действием системы произвольно расположенных в пространстве пар, необходимо и достаточно, чтобы момент результирующей (эквивалентной) пары был равен 0.

В случае, если все пары сил расположены в одной плоскости (или в параллельных плоскостях), то для равновесия необходимо равенство 0 алгебраической суммы моментов составляющих пар.

15. Основная лемма статики о параллельном переносе силы.

Сила, приложенная в какой-либо точке твердого тела, эквивалентна такой же силе, приложенной в любой другой точке этого тела, и паре сил, момент которой равен моменту данной силы относительно новой точки приложения.

Пусть в точке А твердого тела приложена сила F. Приложим теперь в точке В тела систему двух сил F" и F²-, эквивалентную нулю, причем выбираем F"=F (следовательно, F"=–F). Тогда сила F~(F, F", F"), так как (F",F")~0. Но, с другой стороны, система сил (F, F", F") эквивалентна силе F" и паре сил (F, F"); следовательно, сила F эквивалентна силе F" и паре сил (F, F"). Момент пары (F, F") равен M=M(F,F")=BAxF, т.е. равен моменту силы F относительно точки В M=M B (F). Таким образом, лемма о параллельном переносе силы доказана.

Силу, приложенную к абсолютно твердому телу, можно, не изменяя оказываемого ею действия, переносить из данной точки в любую другую точку тела, прибавляя при этом пару с моментом, равным моменту переносимой силы относительно точки, куда переносится сила.

Сложение пар производится алгебраическим суммированием их моментов:

М = М 1 + М 2 + …+ М n = ΣМ i

Условие равновесия системы пар, лежащих в одной пло­скости : для равновесия системы пар необходимо чтобы сумма моментов пар равнялась нулю:

ΣМ i = 0 (3.2)

Пример 3.1. Определить момент результирующей пары, эквивалентной системе трех пар, лежащих в одной плоскости (рис. 3.3). Первая пара F 1 = F¢ 1 = 2 кН, плечо h 1 = 1,25 м; вторая пара F 2 = F¢ 2 = 3 кН, плечо h 2 = 2 м; третья пара F 3 = F¢ 3 = 4,5 кН, плечо h 3 = 1,2 м.

Рис. 3.3

Момент силы относительно точки

Момент М о (F) силы F относительно точки О равен произведению силы на плечо. (рис. 3.4, а). Сила F стремится поворачи­вать плечо а вокруг точки О .

М о (F) = F× a, Н×м, (3.3)

где а - плечо силы F.

Плечо силы – этодлина перпенди­куляра а, опущенного из точки на линию действия силы

Рис. 3.4

Центр момента - точка О, относительно которой возникает момент.

Момент по­ложительный , если сила стре­мится вращать тело по часовой стрелке (рис. 3.4, а ), и отри­цательный - против часовой стрелки (рис. 3.4, б ).

Когда линия действия силы проходит через данную точку, момент силы относительно этой точ­ки равен нулю, так как плечо а = 0 (рис. 3.4, в ).

Лекция № 4

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПОРНЫХ РЕАКЦИЙ

Опорные устройства балочных систем

1) Шарнирно-подвижная опора (рис. 4.1, а)- допускает поворот вокруг оси шарнира и линейное перемещение па­раллельно опорной плоскости. Направление опорной реакции - перпендикуляр к опорной плоскости. (рис. 5.1, б).

2) Шарнирно-неподвижная опора (рис, 4.1,б ) - допу­скает только поворот вокруг оси шарнира, но не допускает никаких ли­нейных перемещений. Опорная реакция R A раскладывается на две составляющие - R Ax и R Ay .

3) Жесткая заделка (защемление) (рис. 4.1,в)- не допускает ни линейных перемещений, ни поворота.В защемлении действуют две составляющие опорной реакции - R Ax , R Ay и реактивный момент М А.

а) б) в)

Рис. 4.1

Двухопорные балки имеют две опоры – одна опора шарнирно-неподвижная, вторая – шарнирно-подвижная. Шарнирно-подвижная опора необходима для компенсации перемещений балки при температурных расширениях балки из-за колебаний температуры, а также при возможной подвижке опоры, например, при осадке почвы.

Виды балок

Консоль – выступающая за опору не закрепленная часть балки (рис. 4.2, б, в).

1) Бесконсольные балки 2) Одноконсольные балки 3) Двухконсольные балки

Рис. 4.2

Виды нагрузок

1) Сосредоточенная сила (рис.4.3, а) – F - сила, приложенная в одной точке.

Рис. 4.3

(рис.4.3, б) – нагрузка, равномерно распределенная на некоторой длине l . Характеризуется интенсивностью q , единица измерения- Н/м или кН/м.

При решении задач равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q заменяется одной силой F q = q×l , которая является равнодействующей силой и прикладывается посередине длины l .

3) Пара сил или момент (рис. 4.3, в) – М, Н×м.

Равновесие плоской системы сил

Условие равновесия произвольной плоской системы сил - произвольная плоская система сил находится в равно­весии, когда алгебраические суммы проекций сил на координатные оси и сумма моментов равны нулю:

Первый вид:Второй вид:Третий вид:

SF ix = 0 S F ix = 0 SМ А = 0

SF i у = 0 SМ А = 0 SМ В = 0

SМ о = 0 SМ В = 0 SМ С = 0

Решение задач на определение опорных реакций

Для решения задач надо составить столько уравнений равновесия, сколько неизвестных сил в задаче. Для определения опорных реакций двухопорной балки (R Ax , R Ay и R В) необходимо составить три уравнения равновесия второго вида : SF ix = 0, SМ А = 0, SМ В = 0.

Пример 4.1 . Определить опорные реакции балки, изображенной на рис. 4.4, а , нагруженной парой с моментом М = 10 кН×м, сосредоточенной силой F = 4 кН и распределенной нагрузкой интенсивностью q = 1,5 кН/м.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 2

Тема: Определение реакций опор.

Цель: Определить реакции опор двухопорной балки.

Оснащение: методические указания; алгоритм; карточки индивидуальных заданий.

Ход работы:

1) Ознакомиться с краткими теоретическими сведениями.

2) Ответить на контрольные вопросы.

3) Выполнить индивидуальное задание.

4) Оформить отчёт.

Краткие теоретические сведения

Пара сил. Момент пары сил

Парой сил называется система из двух параллельных сил равных по величине, противоположных по направлению и не лежащих на одной прямой (рисунок 1).

Рисунок 1 – Пара сил

Плоскость, в которой расположены силы, называют плоскостью пары.

Кратчайшее расстояние между линиями действия сил называется плечом пары.

Момент пары сил по абсолютному значению равен произведению одной из сил на ее плечо.

М = F·a = F"·a.

Эффект действия пары сил полностью определяется ее моментом. Поэтому момент пары сил можно показывать дугообразной стрелкой, указывающей направление вращения (рисунок 2).

Рисунок 2 – Определение знака момента пары сил

Эквивалентность пар. Сложение и равновесие пар сил на плоскости

Две пары сил считаются эквивалентными в том случае, если после замены одной пары другой парой механическое состояние тела не изменяется, т. е. не изменяется движение тела или не нарушается его равновесие.

Эффект действия пары сил на твердое тело не зависит от ее положения в плоскости. Таким образом, пару сил можно переносить в плоскости ее действия в любое положение.

Рассмотрим еще одно свойство пары сил, которое является основой для сложения нар.

Не нарушая состояния тела, можно как угодно изменять модули сил и плечо пары, только бы момент пары оставался неизменным.

Рисунок 3 – Эквивалентные пары сил

Если, изменив значения сил и плечо новой пары, мы сохраним равенство их моментов М 1 = М 2 или F1·а = F2·b, то состояние тела от такой замены не нарушится.

Подобно силам, пары можно складывать. Пара, заменяющая собой действие данных пар, называется результирующей.

Две пары можно заменить одной парой, момент которой равен алгебраической сумме моментов исходных пар.

Это применимо к любому количеству пар, лежащих в одной плоскости. Поэтому при произвольном числе слагаемых пар, лежащих в одной плоскости или параллельных плоскостях, момент результирующей пары определится по формуле:

М Σ = М 1 + М 2 + … + М n = Σ М i ,

где моменты пар, вращающие по часовой стрелке принимаются положительными, а против часовой стрелки - отрицательными.

Условие равновесия системы пар, лежащих в одной плоскости: для равновесия системы пар необходимо и достаточно, чтобы момент результирующей пары равнялся нулю или чтобы алгебраическая сумма моментов пар равнялась нулю.

Пусть к твердому телу приложены одновременно несколько пар сил с моментами , действующих в различных плоскостях. Можно ли эту систему пар привести к более простому виду? Оказывается, что можно, и ответ подсказывается следующей теоремой о сложении двух пар.

Теорема. Две пары сил, действующие в разных плоскостях, эквивалентны одной паре сил с моментом, равным геометрической сумме моментов заданных пар.

Пусть пары заданы своими моментами и (рис. 36,а). Построим две плоскости, перпендикулярные этим векторам (плоскости действия пар) и, выбрав некоторый отрезок АВ на линии пересечения плоскостей за плечо, общее для обеих пар, построим соответствующие пары: (рис. 36, б).

В соответствии с определением момента пары можем написать

В точках А и В имеем сходящиеся силы. Применяя правило параллелограмма сил (аксиома 3), будем иметь:

Заданные пары оказываются эквивалентными двум силам , также образующим пару. Тем самым первая часть теоремы доказана. Вторая часть теоремы доказывается прямым вычислением момента результирующей пары:

Если число пар то, попарно складывая их в соответствии с этой теоремой, можно любое число пар привести к одной паре. В результате приходим к следующему выводу: совокупность (систему) пар сил, приложенных к абсолютно твердому телу, можно привести к одной паре с моментом, равным геометрической сумме моментов всех заданных пар.

Математически это можно записать следующим образом:

На рис. 37 дается геометрическая иллюстрация полученного вывода.

Для равновесия пар сил требуется, чтобы момент результирующей пары был равен нулю, что приводит к равенству

Это условие можно выразить в геометрической и аналитической форме. Геометрическое условие равновесия пар сил: чтобы система пар сил находилась в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы векторный многоугольник, построенный из моментов всех пар, был замкнутым.

Аналитическое условие равновесия пар сил: чтобы система пар сил находилась в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы проекций векторов-моментов всех пар на произвольно выбранные координатные оси Oxyz были равны нулю:

Если все пары лежат в одной плоскости, то есть образуют плоскую систему пар, получается лишь одно аналитическое условие равновесия-сумма алгебраических моментов пар равна нулю.

Вопросы для самопроверки

1. В чем состоит правило силового многоугольника? Для чего служит силовой многоугольник?

2. Как найти равнодействующую сходящихся сил аналитическим способом?

3. В чем состоит геометрическое условие равновесия сходящихся сил? Как формулируется это же условие аналитически?

4. Сформулируйте теорему о трех силах.

5. Какие задачи статики называются статически определенными и какие - статически неопределенными? Приведите пример статически неопределенной задачи.

6. Что называется парой сил?

7. Что называется моментом (вектором-моментом) пары сил? Каковы направление, модуль и точка приложения момента?

8. Что называется алгебраическим моментом пары?

9. Сформулируйте правило сложения пар, произвольным образом расположенных в пространстве.

10. В чем заключаются векторное, геометрическое и аналитическое условия равновесия системы пар сил?