Анализ размерностей его возможности и ограничения моделирование. Применение метода анализа размерностей при решении гидравлических задач. Основные понятия теории моделирования

В статье рассмотрена теория метода размерностей и применение данного метода в физике. Уточнено определение метода размерностей. Перечислены возможности данного метода. С помощью теории размерности можно получить особенно ценные выводы при рассмотрении таких явлений, которые зависят от большого количества параметров, но при этом так, что некоторые из этих параметров в известных случаях становятся несущественными. В рассматриваемом методе искомая закономерность может быть представлена в виде произведения степенных функций физических величин, от которых зависит искомая характеристика. Метод теории размерности играет особенно большую роль при моделировании различных явлений. Таким образом, целью анализа размерностей является получение некоторых сведений о соотношениях, существующих между измеримыми величинами, связанными различными явлениями.

размерность

метод размерностей

физическая величина

1. Алексеевнина А.К. От физических понятий к культуре речи // Фундаментальные исследования. – 2014. – № 6-4. – С. 807-811.

2. Брук Ю.М., Стасенко А.Л. Как физики делают оценки – метод размерностей и порядки физических величин // Сб. «О современной физике – учителю», изд. «Знание», Москва, 1975. – С. 54–131.

3. Власов А.Д., Мурин Б.П. Единицы физических величин в науке и технике. – М.: Энергоатомиздат, 1990. – 27 с.

Ежедневно мы сталкиваемся с различными измерениями. Чтобы не опаздывать, мы устанавливаем будильник (фиксируем время), следим за культурой своего питания (взвешиваем продукты, считаем калории). Единицы измерения всем знакомы, например, скорость движения измеряется в м/c в системе СИ, а в другой - км/час. Единицы измерения придуманы людьми, исторически это связано с развитием социума, научно-технического процесса, торговли и т.д.

В науке закономерности, то есть уравнения связи одних физических величин с другими, необходимо анализировать не с помощью единиц, которые полностью зависят от человека, а с помощью каких-то других понятий, независимых от человека. Поскольку и сами природные закономерности от человека не зависят.

Уравнения связи физических величин анализируют не с помощью единиц измерения, а с помощью каких-то других понятий, однозначных для одной и той же величины. С этой целью и введено понятие «размерности». Размерность - это выражение (без числовых коэффициентов), зависимости величины от основных величин системы, в виде произведения степеней сомножителей, соответствующих основным величинам. Каждой размерности придуман свой символ обозначения, и порядок их расположения строго регламентировано. Например, объем любого тела обозначаться L3, скорость механического движения тела - LT-1 .

Тот факт, что физические соотношения имеют скалярный, векторный или тензорный характер, отражает свойство инвариантности физических законов относительно системы координат.

С другой стороны, для того, чтобы задать значения какой-либо физической величины, необходимо задать единицы ее измерения, и, вообще говоря, систему единиц измерения. Очевидно, что смысл физических соотношений не должен зависеть от выбора системы единиц измерений.

При этом нет необходимости для каждой физической величины задавать строго особую единицу измерения, т.к. физические определения и соотношения позволяют выражать размерности одних физических величин через другие.

Например, определение скорости позволяет выразить размерность скорости v = ds/dt через размерности перемещения ds и времени dt.

В любой системе единиц вводятся основные единицы измерения. Они вводятся из опыта с помощью эталонов. Например, в СИ основными считаются метр, секунда, килограмм, Ампер, Кельвин, моль, кандела.

Выражение произвольной единицы измерения через основные единицы измерения называется размерностью. Для каждой основной величины вводится обозначение: L - длина, М - масса, Т-время и т.д.

Любая произвольная размерность обозначается квадратными скобками от соответствующей величины. Например, [v] - размерность скорости, [Е] - размерность энергии и т.д.

Формула размерности. В теории размерности доказывается, что размерность любой величины представляет собой степенные одночлены вида [N] = LlTtMm... и называется формулой размерности. Иногда в формулах размерности используют не символы основных величин, а их единиц измерения [v] = мс-1, [Е] = кг м2с2 и т.д.

Метод размерностей - одно из самых интересных методов расчета. Суть его заключается в возможности восстанавливать различные соотношения между физическими величинами. Достоинства: быстрая оценка масштабов исследуемых явлений; получение качественных и функциональных зависимостей; восстановление забытых формул на экзаменах, ЕГЭ. А так же специальные задания с использованием метода размерностей, способствует развитию мышления и культуры речи .

В основе метода размерностей лежит составление перечня существенных физических величин, определяющих процесс в данной задаче. Это возможно сделать лишь при сознательном и глубоком понимании, а также при исследовательском, творческом подходе к разбору физической ситуации. Это означает, что использование метода размерностей способствует развития мышления учащихся на уроках физики. Большинство задач школьного курса физики относительно просты с точки зрения рассматриваемого метода, это значительно облегчает его использование в обучении.

Рассмотрим некоторые достоинства и приложения метода размерностей:

Быстрая оценка масштабов исследуемых явлений;

Получение качественных и функциональных зависимостей;

Восстановление забытых формул на экзаменах;

Выполнение некоторых заданий ЕГЭ;

Осуществление проверки правильности решения задач.

Метод размерностей является распространенным и относительно простым методом современной физической науки. Он позволяет с меньшими затратами сил и времени проверить:

1) правильность решения задачи;

2) установить функциональную зависимость между физическими величинами, характеризующими данный процесс;

3) оценить ожидаемый численный результат. Кроме того, учитель физики имеет возможность:

а) опросить за урок большее число учащихся;

б) выяснить знание формул и единиц измерения физических величин;

в) сэкономить время при объяснении нового материала. Использование метода размерностей на учебных занятиях будет стимулировать более углубленное изучение предмета, расширит кругозор учащихся, усилит меж предметную связь.

В физике имеется одна чрезвычайно полезная математическая процедура, называемая анализом размерностей.

Для правильной постановки и обработки экспериментов, результаты которых позволяли бы установить общие закономерности и могли бы быть приложенными к случаям, в которых эксперимент не проводился непосредственно, необходимо вникать в сущность изучаемого вопроса и давать общий качественный анализ.

Возможность такого предварительного качественно-теоретического анализа и выбора системы определяющих безразмерных величин и дает теория размерности, которая приносит много пользы и в теории, и в практике. Все результаты, добываемые с помощью этой теории, получаются всегда очень просто, элементарно и почти без всякого труда. Но применение этой теории к новым задачам требует опыта и понимания сущности явления.

Всякое уравнение в физике выражает соотношение, объективно существующее в природе, независимо от воли того, кто это уравнение пишет. И, конечно, обе части уравнения должны выражаться величинами, измеряемыми в одних и тех же единицах.

Анализ размерностей широко применяется в физике для анализа уравнений, которые бывают не так просты, как F = ma, и в отношении которых присутствует сомнение, верны ли они. Если бы степени хотя бы одной размерности не совпали, то это означало бы стопроцентную гарантию того, что уравнение неверно .

При решении задач, а соответственно и тестов большое значение имеет контроль по установлению размерностей величин входящих в качестве слагаемых в расчетные формулы. Вполне очевидно, что выражение типа «3м-2кг» не имеет смысла, поэтому если в результате решения появляются слагаемые, имеющие разную размерность, то это явный признак того, что была допущена ошибка (чаше всего она носит арифметический характер). Понимая это, необходимо периодически при решении теста или задачи прибегать к анализу размерности.

Польза от применения размерностей не ограничивается процедурой анализа размерностей. Также метод размерностей используется при систематизации физических величин.

Следует только помнить, что размерность при систематизации физических величин - это всё же понятие вспомогательное. Оно помогает решать проблему, но решить проблему не возможно только с помощью размерностей. Да и стремиться к такому подходу вряд ли стоит. Проблему систематизации физических величин решает только сравнение определяющих уравнений, а применение размерностей придает этому решению определенную наглядность.

В свою очередь, физические величины могут быть размерными и безразмерными. Величины, численное значение которых зависит от принятых масштабов, то есть от системы единиц измерения, называются размерными или именованными величинами, например: длина, время, сила, энергия, момент силы и т. д. Величины, численное значение которых не зависит от применяемой системы единиц измерения, называются безразмерными или отвлеченными величинами, например: отношение двух длин, отношение квадрата длины к площади, отношение энергии к моменту силы и др. Это понятие является условным, и поэтому некоторые величины можно рассматривать в одних случаях как размерные, а в других - как безразмерные.

Различные физические величины связаны между собой определенными соотношениями. Поэтому если некоторые из них принять за основные и установить для них какие-то единицы измерения, то единицы измерения остальных величин будут определенным образом выражаться через единицы измерения основных величин. Принятые для основных величин единицы измерения называются основными или первичными, а остальные - производными или вторичными.

В настоящее время большим распространением пользуются физическая и техническая системы единиц измерения. В физической системе за основные единицы измерения приняты сантиметр, грамм-масса и секунда (система CGS),

Метод размерностей работает в очень широком диапазоне порядков величин, он позволяет оценивать размеры Вселенной и характеристики атомного ядра, проникать внутрь звезд и находить ошибки у писателей - фантастов, изучать волны на поверхности лужи и подсчитывать количество взрывчатки при строительстве туннелей в горах.

Основная польза теории размерностей связана с возможностью изучения физических закономерностей в безразмерном виде, не зависящим от выбора систем единиц измерения. Результаты анализа проблемы в безразмерном виде применимы сразу к целому классу явлений.

Суммируя все вышеизложенное, сделаем следующие выводы:

1. Метод размерностей может быть использован в случае, если искомая величина может быть представлена в виде степенной функции.

2. Метод размерностей позволяет качественно решить задачу и получить ответ с точностью до числового коэффициента

3. В некоторых случаях метод размерностей является единственным способом решить задачу и хотя бы оценить ответ.

4. Решение задач методом размерностей является дополнительным или вспомогательным методом, позволяющим лучше понять взаимодействие величин, их влияние друг на друга.

5. Метод размерностей очень прост в математическом отношении.

Данный метод требует особого внимания. Более конкретного и детального изучения, с целью внедрения данного метода в школьный курс физики, для осознанного и целенаправленного использования метода размерности при решении поставленных задач перед учащимися.

Библиографическая ссылка

Сущность метода анализа целесообразности затрат основывается на том, что в процессе предпринимательской деятельности затраты по каждому конкретному направлению, а также по отдельным элементам, не имеют одинаковую степень риска. Другими словами, степень риска двух разных направлений деятельности одной и той же фирмы неодинакова; и степень риска по отдельным элементам затрат внутри одного и того же направления деятельности также неодинакова. Так, например, гипотетически занятие игорным бизнесом более рискованное по сравнению с производством хлеба и затраты, которые несет диверсифицированная фирма на развитие этих двух направлений своей деятельности, будут также отличаться по степени риска. Даже в том случае, если предположить, что размер затрат по статье «аренда помещений» будет одинаковым по обоим направлениям, то все равно степень риска будет выше в игорном бизнесе. Такая же ситуация сохраняется и с затратами внутри одного и того же направления. Степень риска по затратам, связанным с покупкой сырья (которое может быть доставлено не точно в указанный срок, его качество может не полностью соответствовать технологическим нормам или его потребительские свойства могут быть частично утеряны при хранении на самом предприятии и т. д.), будет выше, чем по затратам на заработную плату.

Таким образом, определение степени риска путем анализа целесообразности затрат ориентировано на идентификацию потенциальных зон риска. Такой подход целесообразен еще и с тех позиций, что дает возможность выявить «узкие места» в деятельности предприятия с точки зрения рискованности, а после разработать пути их ликвидации.

Перерасход затрат может произойти под влиянием всех видов рисков, о которых говорилось ранее во время их классификации.

Обобщив накопленный мировой и отечественный опыт анализа степени риска при помощи использования метода анализа целесообразности затрат, можно сделать вывод о необходимости использовать при таком подходе градацию затрат на области риска.

Для анализа целесообразности затрат состояние по каждому из элементов затрат должно быть разделено на области риска (табл. 4.1), которые представляют собой зону общих потерь, в границах которых конкретные потери не превышают предельного значения установленного уровня риска:

• 1) область абсолютной устойчивости;
• 2) область нормальной устойчивости;
• 3) область неустойчивого состояния:
• 4) область критического состояния;
• 5) область кризисного состояния.

В области абсолютной устойчивости степень риска по рассматриваемому элементу затрат соответствует нулевому риску. Данная область характеризуется отсутствием каких-либо потерь при совершении предпринимательской деятельности с гарантированным получением плановой прибыли, размер которой теоретически не ограничен. Элемент затрат, который находится в области нормальной устойчивости, характеризуется минимальной степенью риска. Для данной области максимальные потери, которые может нести субъект предпринимательской деятельности, не должны превышать границы плановой чистой прибыли (т.е. той ее части, которая остается у субъекта хозяйствования после налогообложения и всех остальных выплат, которые производятся на данном предприятии из прибыли, например, выплата дивидендов). Таким образом, минимальная степень риска обеспечивает фирме «покрытие» всех ее издержек и получение той части прибыли, которая позволяет покрыть все налоги.

Как правило, в условиях рыночной экономики, как было показано ранее, направление, которое имеет минимальную степень риска, связано с тем, что государство является его основным контрагентом. Это может проходить в самых различных формах, из которых основными являются такие, как: осуществление операций с ценными бумагами правительства или муниципальных органов, участие в выполнении работ, финансируемых за счет государственного или муниципальных бюджетов и т.д.

Область неустойчивого состояния характеризуется повышенным риском, при этом уровень потерь не превышает размеры расчетной прибыли (т. е. той части прибыли, которая остается у предприятия после всех выплат в бюджет, уплаты процентов за кредит, штрафов и неустоек). Таким образом, при такой степени риска субъект предпринимательской деятельности рискует тем, что он в худшем случае получит прибыль, величина которой будет меньше ее расчетного уровня, но при этом будет возможность произвести покрытие всех своих издержек.

В границах области критического состояния, которой соответствует критическая степень риска, возможны потери в границах валовой прибыли (т. е. общей сумме прибыли, которая получена предприятием до произведения всех вычетов и отчислений). Такой риск является нежелательным, потому что при этом фирма рискует потерять не просто прибыль, а и не покрыть полностью свои издержки.

Недопустимый риск, который соответствует области кризисного состояния, означает принятие субъектом предпринимательской деятельности такой степени риска, которая предполагает наличие возможности не покрытия всех издержек фирмы, связанных с данным направлением ее деятельности.

Таблица 4.1 - Области деятельности предприятия.

После того, как рассчитан коэффициент b на основании данных прошлых периодов, каждая статья затрат. Анализируется по отдельности на предмет ее идентификации по областям риска и максимальным потерям. При этом степень риска всего направления предпринимательской деятельности будет соответствовать максимальному значению риска по элементам затрат. Преимущество данного метода состоит в том, что зная статью затрат, у которой риск максимальный, возможно найти пути его снижения (например, в том случае, если максимальная точка риска приходится на затраты, связанные с арендой помещения, то можно отказаться от аренды и купить его и т. п.)

Основной недостаток такого подхода к определению степени риска, так же как и при статистическом методе, состоит в том, что предприятие не анализирует источники происхождения риска, а принимает риск как целостную величину, таким образом, игнорируя его мультисоставляющие.

В случаях, когда изучаемые процессы не описываются дифференциальными уравнениями, одним из путей их анализа является эксперимент, результаты которого наиболее целесообразно представлять в обобщенной форме (в виде безразмерных комплексов). Методом составления таких комплексов является метод анализа размерностей.

Размерность какой-либо физической величины определяется соотношением между ней и теми физическими величинами, которые приняты за основные (первичные). В каждой системе единиц имеются свои основные единицы. Например, в Международной системе единиц измерения СИ за единицы измерения длины, массы и времени соответственно приняты метр (м), килограмм (кг), секунда (с). Единицы измерения остальных физических величин, так называемых производных величин (вторичных), принимаются на основании законов, устанавливающих связь между этими единицами. Эта связь может быть представлена в виде так называемой формулы размерности.

Теория размерностей основана на двух положениях.

• 1. Отношение двух числовых значений какой-либо величины не зависит от выбора масштабов для основных единиц измерения (например, отношение двух линейных размеров не зависит от того, в каких единицах они будут измеряться).
• 2. Любое соотношение между размерными величинами можно сформулировать как соотношение между безразмерными величинами. Это утверждение представляет так называемую П-теорему в теории размерностей.

Из первого положения следует, что формулы размерности физических величин должны иметь вид степенных зависимостей

где – размерности основных единиц.

Математическое выражение П-теоремы можно получить, исходя из следующих соображений. Пусть некоторая размерная величина а 1 является функцией нескольких независимых между собой размерных величин , т.е.

Отсюда следует, что

Допустим, что число основных размерных единиц, через которые могут быть выражены все п переменных величин, равно т. П-теорема устанавливает, что если все п переменных величин выразить через основные единицы, то их можно сгруппировать в безразмерных П-членов, т.е.

При этом каждый П-член будет содержатьпеременную величину.

В задачах гидромеханики число переменных, входящих в П-члены, должно равняться четырем. Три из них будут определяющими (обычно это характерная длина, скорость течения жидкости и ее плотность) – они входят в каждый из П-членов. Одна из этих переменных (четвертая) является различной при переходе от одного П-члена к другому. Показатели степени определяющих критериев (обозначим их через х, у , z) являются неизвестными. Показатель степени четвертой переменной для удобства примем равным -1.

Соотношения для П-члснов будут иметь вид

Входящие в П-члены переменные можно выразить через основные размерности. Так как эти члены являются безразмерными, то показатели степени каждой из основных размерностей должны быть равны нулю. В результате для каждого из П-членов можно составить по три независимых уравнения (по одному для каждой размерности), которые связывают показатели степени входящих в них переменных. Решение полученной системы уравнений дает возможность найти числовые значения неизвестных показателей степени х , у , z. В итоге каждый из П-членов определяется в виде формулы, составленной из конкретных величин (параметров среды) в соответствующей степени.

В качестве конкретного примера найдем решение задачи определения потерь напора на трение при турбулентном течении жидкости .

Из общих соображений можно заключить, что потеря давленияв трубопроводе зависит от следующих основных факторов: диаметра d , длины l , шероховатости стенок k, плотности ρ и вязкости µ среды, средней скорости течения v , начального напряжения сдвига, т.е.

(5.8)

Уравнение (5.8) содержит п=7 членов, а число основных размерных единиц. Согласно П-теореме получим уравнение, состоящее избезразмерных П-членов:

(5.9)

Каждый такой П-член содержит 4 переменные. Принимая в качестве основных переменных диаметр d , скорость v , плотность и комбинируя их с остальными входящими в уравнение (5.8) переменными, получаем

Составляя уравнение размерности для первого П-члена, будем иметь

Складывая показатели степени при одинаковых основаниях, находим

Для того чтобы размерность П 1 была равна 1 (П 1 – безразмерная величина), необходимо потребовать равенства нулю всех показателей степеней, т.е.

(5.10)

Система алгебраических уравнений (5.10) содержит три неизвестные величины x 1, у 1,z 1. Из решения этой системы уравнений находим x 1 = 1; у 1=1; z 1= 1.

Подставляя эти значения показателей степени в первый П-член, получаем

Аналогично для остальных П-членов будем иметь

Подставляя полученные П-члены в уравнение (5.9), находим

Решим это уравнение относительно П4:

Выразим отсюда :

Учитывая, что потери напора на трение равны разности пьезометрических напоров, будем иметь

Обозначив комплекс, находящийся в квадратных скобках, через, окончательно получим

Последнее выражение представляет известную формулу Дарси – Вейбаха, где

Формулы для расчета коэффициента трения к рассмотрены в параграфах 6.13, 6.14.

Анализ размерностей, теория подобия, моделирование, а также метод аналогии различных явлений позволяют, наряду с правильной постановкой и проведением экспериментов, ускорить вычислительные и другие работы. Однако в теоретических основах бурения нефтяных и газовых скважин этот метод широко не применяется. В то же время в теоретических основах разработки нефтяных и газовых залежей эти средства сравнительно широко применяются.

Для правильной постановки экспериментов, обработки получае­мых результатов и обобщений нужно проводить количественно-теоретический анализ. В этом случае уменьшается количество опытов, результаты которых выражаются в безразмерных параметрах. В гидродинамике, в частности, эти параметры определяются, как соотношение сил.

Обычно различают величины размерные и безразмерные. Примерами размерных величин являются скорость, давление, вязкость, предельное напряжение сдвига, длина, время и др.

Отношения длины к ее диаметру, сил вязкости к предельному напряжению сдвига и т. д. являются безразмерными величинами. Анализ теории размерностей позволяет в уравнениях путем пере­хода от размерных переменных к безразмерным уменьшить число переменных. Допустим, что дано следующее квадратное уравнение:

ax 2 + bx+c = 0,

где безразмерный х зависит от коэффициентов а, bи с, имеющих одинаковые размерности.

с, то уравнение примет вид

Как видно из уравнения, переменная х зависит от и , т. е.

. Следовательно, запись уравнения в безразмерном виде

позволяет уменьшить число переменных с трех до двух. Если уравнение неизвестно или необходимо определить вид функциональной зависимости, то вместо изменения а и bизменим отношения и . Таким образом, не только уменьшается число переменных, но и при наименьших затратах времени и труда достигается возможность проведения эксперимента. Допустим, что для постановки эксперимента требуется изменение величин и . Если во время экспериментирования величину с легко изменить, то, изменив величину с, можно изменить величины и (при этом величины а и bостаются постоянными), и, наоборот, если трудно изменить величину с при экспериментировании, то, изменив величины и , можно изменить величины a и b. Если же

при проведении экспериментов сложно изменить величины b ис, то изменением одной из них можно достигнуть изменения отношения величин.

Физические основы связывают величины определенными зависимостями. Поэтому, если для некоторых величин будут выбраны размерности, то на основании соответствующих формул могут быть получены размерности других величин. Зависимость между физическими величинами позволяет выбрать такую основную систему размерностей, что для измерения в этой системе механических величин достаточен произвольный выбор трех размерностей.

Во многих случаях в технике единицы длины L, времени Т и силы F принимаются за основные единицы. Однако среди единиц измерения вязкость , скорость v и плотность также могут быть приняты за основные. Такие величины называются величинами с независимыми размерностями (см. ниже).

В настоящее время принята международная система единиц СИ, в которой размерность длины 1 м, массы - 1 кг и времени - 1 сек.

Если обозначить независимые размерности длины, времени и силы соответственно через L, Т и F, то широко применяемые в гидромеханике величины будут иметь следующие размерности:

скорость

Если для математического описания нельзя составить дифференциальное уравнение или другую математическую зависимость, то, применяя теорию размерностей, можно описать физическое явление без уравнения, описывающего процесс. Но для этого необходимо знать поясняющие данное явление начальное и граничные условия. Применение для этих целей -теоремы (теоремы Букингема) позволяет выявить основные безразмерные параметры, характеризующие рассматриваемое явление.

Предположим, что безразмерная величина а зависит от не зависящих друг от друга переменных величин а 1: ..., а п

а = а(а 1 , а 2 , a 3 , . . ., а т, а т+1 , . . . , а п).

Функциональная зависимость обычно записывается в виде ; при большом количестве зависимостей . Знаки функции должны приниматься различными. Проще зависимости изображаются так:

Допустим, что среди этих размерных величин число величин с независимыми размерностями равно т. В механике и технике их не может быть более трех. За независимые размерности прини­маются длина L, время Т, сила F или же их степенная комбинация, из которой могут быть получены L, Т и F, например:

В уравнение входят n+1 размерных величин. На основании л-теоремы связь между п + 1 размерными единицами может быть осуществлена п + 1 - m безразмерными параметрами, состоящими из п + 1 размерных величин.

Тогда безразмерные параметры можно записать

Здесь показатели т 1, т 2 , ..., m k ; p 1 р 2 ,.., p k ; g 1 g 2 ..., g k выбираются так, чтобы параметры получились в безразмерном виде.

Применение -теоремы поясним на конкретном примере. Предположим, что вместо величины дана , а вместо величин с независимыми размерностями даны . Тогда получим

Так как в этой формуле левая часть безразмерная, то и правая часть должна быть безразмерной, т. е.

Тогда, приравнивая показатели степени при L, Т и F, получаем:

Решения этой системы трех линейных уравнений будут следующие:

Следовательно, безразмерный параметр можно представить ввиде

Это выражение представляет собой отношение давления и инерции и называется параметром Эйлера.

При использовании теории размерности используются физические и математические соображения.

Рассмотрим стационарное движение несжимаемой вязко-пластической жидкости в цилиндрической трубе. Перепад давления на концах трубопровода зависит от длины и диаметра трубы, структурной вязкости, предельного напряжения сдвига, плотности жидкости, а также от ускорения силы тяжести и скорости движения. При движении сжимаемой жидкости в уравнение должен войти не перепад давления, а абсолютные значения давлений, действующих на концах трубы. Для рассматриваемого случая физическое уравнение имеет вид

, или

Так как число независимых равно трем, то, используя -теорему, можем вывести пять безразмерных параметров. В данном случае в качестве величин с независимыми размерностями могут быть выбраны следующие: и т. д.

Выше было отмечено, что в каждом варианте величины с независимыми размерностями нужно выбирать так, чтобы их степенные комбинации дали бы возможность получить размерности длины L, силы F, времени Т. Теперь для принятых вариантов проверим это условие.

Так как в первом варианте давление, диаметр и скорость приняты за основные, то, комбинируя их, будем стремиться получить размерности L, F и Т.

Найдем размерность длины

Следовательно,

Таким образом, для получения размерности длины нужно при­нять следующую комбинацию р, d и v:

.

Найдем размерность силы:

,

Следовательно,

;

т. е. для получения размерности силы нужно воспользоваться сле­дующей комбинацией :

.

Найдем размерность времени

,

Следовательно,

.

Размерность времени получим из приводимой ниже комбинации р, d и v:

В каждом варианте комбинации этих величин выбираются так, чтобы в результате можно было бы получить безразмерный пара­метр. Теперь для каждого из двух вариантов выведем безразмерные параметры.

Вариант 1. Комбинации трех величин, принятых при выводе безразмерных параметров , должны быть выбраны так, чтобы можно было получить размерности остальных величин, а затем в результате деления привести полученную величину к безразмерному виду.

Для величины можем записать:

Таким образом, получим четвертый безразмерный параметр в виде

Здесь для стационарного движения вязко-пластических жидко­стей получены параметры Eu, Fr, La" и La".

Аналогично, если вывести безразмерные параметры для , то получим

Ввиду того, что из восьми величин, входящих в уравнение, три приняты за независимые переменные, число безразмерных параметров уменьшится на число независимых переменных, т. е. получим п - т = 8-3 = 5 безразмерных параметров.

Вариант 2. Принимая размерные величины за основные и выводя из -теоремы безразмерные параметры, получаем следующие выражения:

Сопоставим их с параметрами варианта I:

Ввиду того,что, что искомая величина входит входит в параметр Eu, то результаты опытов представлены в виде

Так как величина входит в параметрEu, остальные три параметра выбираем так, чтобы там искомая величина не участвовала.

Уравнение можно выразить и с помощью параметра Лагранжа, в котором участвует , т. е.

Это уравнение применимо для стационарного движения; если же движение нестационарное, необходимо принять во внимание и параметр Струхаля.

При горизонтальном положении трубы силы тяжести не оказывают влияния на движение, поэтому g во внимание не принимается.

Так как при изотермическом движении физические свойства;ьидкости по длине трубы не меняются, расход и сечение остаются постоянными, то потери давления, приходящиеся на единицу длины (из уравнения неразрывности), бывают разными. В этом случае характерным является .Например, если будем знать потери давления, соответствующие 100 м длины, то можно определить потери давления на 200, 300 м и т. д. Здесь начальные и концевые участки во внимание не принимаются. Тогда перепад давления па единицу длины может быть выражен как

.

Так как определяется , то параметр отпадает и параметр Эйлера записывается в виде

Для вязких жидкостей аналогичное уравнение, выведенное независимо друг от друга Дарси и Вейсбахом, называется уравнением Дарси - Вейсбаха.

Таким образом,

где - коэффициент гидравлических сопротивлений.

Рассмотрим уравнение длинной двухпроводной линии . Двухпроводная линия представлена системой с равномерно распределенными утечками, индуктивностями, сопротивлениями и емкостями. Разность потенциалов U и сил тока i в сечениях х и определяется на основании закона Кирхгофа, записанного для процесса, протекающего на отрезке в промежуток времени . Разность U(x, t) - U(х + Ах, t) определяет разность потенциалов на индук-тивиостях и омических сопротивлениях

где L и R - соответственно индуктивность и омическое сопротивление на единицу длины.

Первый член правой части, характеризующий изменение э. д. с. на индуктивностях, определяется изменением силы тока во времени. Второй член - разность потенциалов, которая рассчитывается по закону Ома.

Второе уравнение - баланс силы тока, определяемый конденсатором и утечкой, т. е.

" где С - емкость, приходящаяся на единицу длины; G- - проводимость на единицу длины.

Первый член правой части - сила тока, проходящего через конденсатор и характеризуемого изменением в течение времени разностью потенциалов. Второй член - сила тока - утечка, определяемая по закону Ома.

Приведенные два уравнения - конечно-разностные уравнения длинной двухпроводной линии. Переходя к пределу при , можно получить:

Эта система уравнения при G = 0 вполне аналогична дифференциальным уравнениям движения капельной жидкости в трубопроводе при .

Рассмотрим неустановившееся движение реальной среды в гори-зонтальной круглой цилиндрической трубе. В этом случае одно гремя релаксации характеризует пестационарность вдоль оси, дру-юе - вдоль сечения. Предполагается, что второе пренебрежимо -тало по сравнению с первым. Поэтому исследуется нестационар-юсть, развивающаяся вдоль оси трубы, т. е. рассматривается ква-зиодномерное движение, характеризуемое параметрами, осреднен-м.ши по сечению. Предполагается, что жидкость малосжимаемая, т. е. изменение ее скорости вдоль оси мало. В сечении 1 -1 (см. Рис. 9) среднее давление обозначается через р (х, t), а в сечении 2-2 - через .

Касательное напряжение обозначается через . Тогда сила тре-шя, действующая на боковую поверхность элементарного круглого цилиндра, будет , где S 1 - смоченный периметр.

В уравнении движения «местная скорость» приближенно заменяется средней по сечению скоростью v, но это не влияет на конечный результат.

Сумма сил сопротивления и давления равна , где F - площадь поперечного сечения.

Переходя к пределу, получаем

Абсолютную величину силы инерции выразим через , где

Масса среды в отсеке 1-1, 2-2 трубы. Тогда в пределе. На основании принципа Д"Аламбера

Ввиду того, что скорость мало изменяется по длине трубы, вторим членом этого равенства но сравнению с первым можно пренебречь, т.е.

Сформулируем более полно условия, при которых можно пренебречь вторым членом но сравнению с первым. Первый член имеет порядок , второй (L - характерный размер, в данном случае длина трубопровода, Т - характерное время, в качестве которого может быть принято время релаксации). Вторым членом можно пренебречь по сравнению с первым при условии

Параметр безразмерный. Оценим величину этого параметра для магистрального трубопровода: 1 м/сек; 100 км.

Если принять, что время релаксации порядка нескольких часов соответствует времени практического достижения стационарного

где R - гидравлический радиус.

режима, то получим . Тогда

где R гидраврический радиус

Уравнение неразрывности запишем в виде

Для изотермического движения принимается уравнение состояния

Вводя вместо среднемассовую скорость w, можно записать

Из анализа размерностей нетрудно установить, что при ламинарном режиме пропорционально средней скорости в первой степени,

а при турбулентном режиме - квадрату скорости.

Необходимо еще раз отметить, что здесь мы воспользовались принципом квазистационарности, т. е. силы сопротивления определяли по формулам для стационарного режима. Принимая , находим

где 2а - коэффициент сопротивления.

Из этих двух уравнений можно получить одно

Рассмотрим, как, используя соображения размерности, можно упростить уравнение. Переищем к безразмерным переменным:

где L, t 0 и w 0 - характерные величины.

В качестве L принималась длина трубопровода. Следовательно, в

безразмерных переменных

Из условия определяется . Окончательно

Если коэффициент при члене достаточно большой, то можно пренебречь силой инерции по сравнению с силой сопротивления .

Таким образом, перепад давления расходуется только лишь на преодоление сил сопротивления. В этом случае уравнение принимает вид

Естественно, что принятое предположение оправдывается для трубопроводов очень большой длины и при движении в них жидкости очень большой вязкости. При определении пускового давления в трубопроводах и в сква­жине можно пренебречь силой инерции

Уровень, который может быть принят как достаточно большой, определяется на основании сопоставимых расчетов. Соображения подобия позволяют, не решая уравнения, получить некоторую информацию. Например, второй закон Ньютона для частного случая потенциального силового поля можно записать в виде

приняв , можно получить

Следовательно, если уменьшить массу точки в 25 раз, то на прохождение орбиты потребуется времени в пять раз меньше.

Среди различных явлений, встречаемых в природе, выявлено много математических аналогий. За последние десятилетия в практике применяются лабораторные исследования и проекты, основанные на электрических, магнитных, электродинамических, электромагнитных, тепловых, звуковых, оптико-механических, магнитно-оптических и других аналогиях и на теории моделирования. Электромоделирование различных физических явлений широко используется в теории фильтрации, гидравлике, гидродинамике, строительстве, теплотехнике, теории упругости, механике грунтов, теории механизмов, акустике, теории автоматического регулирования, а также в других областях науки и техники.

В современном гидротехническом строительстве при строительстве больших и сложных гидротехнических объектов требуется проводить сложные исследования по фильтрации. Теоретическое исследование этих вопросов очень сложно, а иногда и неразрешимо. Эти сложные вопросы очень легко разрешаются с помощью метода ЭГДА (электрогидродинамическая аналогия), в том числе разрешаются многие задачи, относящиеся к фильтрации нефти, газа и гази­рованных жидкостей.

Применение метода ЭГДА при исследовании фильтрации почвенных вод под гидротехнические сооружения впервые в 1918 г. было предложено и теоретически обосновано академиком Н. Н. Павловским. Метод ЭГДА также широко используется в различных областях научных исследований.

Применение центробежного моделирования дает хорошие результаты при решении следующих задач, относящихся к статике и динамике пород: определение прочности земляных строительных откосов; определение прочности валов и других строительных фундаментов; распределение напряжений в породах и на контакте строительных поверхностей с породой; оседание зданий; фильтрация воды в породе и влияние фильтрации па породы; определение в связанных породах сил трения и сцепления и т. д.

Ниже покажем два простых примера, относящихся к аналогии.

Аналогия между электрическими и механическими явлениями

В замкнутую цепь (рис. 25) включены конденсатор с емкостью С, омическое сопротивление R, катушка самоиндукции L и ключ К.

Через цепь проходит электрический ток I. Для последовательной цепи, как известно из закона Кирхгофа, разность потенциалов будет состоять из суммы разности напряжений на

омическом сопротивлении, конденсаторе и катушке. Эти три составляющие рассчитываются следующим образом:

а) в результате самоиндукции разность напряжений равняется произведению коэффициента самоиндукции на скорость изменения тока, т. е. ;

б) разность напряжений, связанных с омическим сопротивлением, равна произведению RI (закон Ома);

в) разность напряжений на конденсаторе (по определению)

Таким образом, дифференциальное уравнение, описывающее явление, запишем в виде

При решении этого дифференциального уравнения второго порядка для нахождения двух постоянных должны быть заданы два условия. Например, в начальный момент времени t = t 0 задаются

утопия и .

Остановимся на условиях, необходимых для решения уравнений. Если явление описывается обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка, т. е. в уравнении искомая функция зависит только от одного аргумента (п - самый высокий порядок производной, входящей в уравнение, - целое число, которое может равняться единице или более), то в результате его решения должно получиться п произвольных постоянных. Для нахождения их должны быть заданы п условий. Эти условия, зависящие от характера изучаемого явления, могут быть заданы различными способами.

1. При определенном значении аргумента задается функция и ее п - 1 производные. Например, если в заданном уравнении третьего порядка искомая функция зависит от времени, то для определенного

значения времени должны быть даны функции и ее первая и вторая производные.

Такая задача называется задачей с начальными условиями, или задачей Коши.

2. При определенных значениях аргументов задаются функции и их производные. Например, если иметь дифференциальное уравнение пятого порядка, то из двух значений аргументов при одном из них даются искомая функция и ее первая и вторая производные, а при другом значении - функция и ее третья производная. Здесь в зависимости от постановки задачи возможны также различные другие варианты.

Для приведенной электрической цепи граничные условия могут быть заданы так:

Рассмотрим механическую цепь, имеющую одну степень свободы. Напишем условие равновесия сил, действующих на пружину (рис. 26).

На пружину действуют активные силы тяжести и упругости и пассивная сила сопротивления.

Воспользовавшись принципом Д"Аламбера, условие равновесия запишем в виде

где т - масса; h - затухание колебания; к - коэффициент жесткости; х - перемещение.

В приводимом уравнении (А) первый член по абсолютному значению представляет силу инерции, второй - силу трения, а третий - силу упругости.

Уравнение механического колебания имеет тот же вид, что и уравнение, описывающее электрическое колебание. Следовательно, в указанных уравнениях аналогичными являются параметры: х - I,

т - L: h - R .

Перейдем к безразмерным величинам следующим образом:

где t 0 - начальное значение аргумента; х 0 и I 0 - начальные значения функции. Таким образом,

Если все члены уравнения разделить на , to получим следующее уравнение с безразмерными коэффициентами:

Аналогично уравнение механических колебаний можно записать в безразмерном виде

Напишем начальные условия для уравнения колебаний в электрической цепи в безразмерном виде:

Начальные условия для уравнения механического колебание будут:

Для равенства вторых начальных условий должно быть удовлетворено следующее условие:

Теперь, пользуясь аналогией уравнений механического и элекричсского колебаний, перейдем от одного уравнения к другому.

Предположим, что для механического контура т, к С и I" 0 , из этих трех уравнений можно найти I 0 , L и R. Выбор этих параметров зависит от места и условий опыта.

После нахождения этих параметров для установления зависимости I=I(t) собирается соответствующая электрическая цепь.

Гидравлическая аналогия при решении задач теплопередачи

Аналитическое решение задач теплопередачи со сложными краевыми условиями и изменяющимися термическими коэффициентами (которые часто встречаются в практике) связано с большими труд­ностями. Применение же метода элементарных балансов связано с трудоемкими вычислительными операциями. В связи с этим созданы счетно-решающие приборы, основанные на аналогиях, облегчающих вычислительные операции. При использовании метода аналогии стремятся воспроизвести исследуемое данное явление на аналогичном явлении, которое описывается теми же математическими зависимостями, но более просто управляемом. При этом значительно облегчаются вычислительные работы.

Известны электрические модели нестационарных процессов теплопроводности (электроинтегратор Л. И. Гутенмахера); нашел применение и метод гидравлической аналогии, предложенный В. С. Лукьяновым.

Гидравлический интегратор В. С. Лукьянова основан на аналогии математических соотношений, описывающих распространение температуры в твердом теле и распределение напоров в воде, движущейся через гидравлические сопротивления при ламинарном режиме.

Основной принципиальной особенностью, определяющей устройство гидроинтегратора, является замена в гидравлическом поле равномерно распределенных параметров сосредоточенными, т. е. переход от поля к цепи с сосредоточенными параметрами. В связи с этим процесс воспроизведения непрорывного температурного поля с сосредоточенными параметрами представляет собой переход от решения дифференциальных уравнений к решению уравнения в конечных разностях.

Этот прибор состоит из основных элементов аналогии гидравлической цепи с сосредоточенными элементами сопротивлений и емкостей, а также специальных элементов, воспроизводящих выделение скрытой теплоты при изменении агрегатного состояния; устройства для задания граничных условий; приспособлений для измерения напора в узлах гидравлической цепи; устройства, обеспечивающего питание прибора водой.

Рассмотрим конкретный пример определения распределения температуры в многослойной стенке при одномерном тепловом потоке. Стенка задается размерами отдельных слоев и теплофи-зическими характеристиками материалов, т. е. объемными теплоемкостями ( , где с - удельная теплопроводность тела; - объемный вес тела), и коэффициентами теплопроводности (рис. 27).

Дано определенное начальное распределение температуры и произвольно выбранные воздействия температур наружных сред II тепловых потоков па поверхности стенки. Вначале составляется расчетная схема. Разбивают стенку на конечное число слоев. При этом допускается, что теплоемкость для каждого слоя сосредоточена в середине его и ограждается термическими сопротивлениями, равными половине толщины слоя.

Таким образом, расчетная схема представляет собой цепочку юплоемкостей с, разделенных между собой термическими сопротивлениями .

Теплоемкости крайних слоев отделены от наружной среды допол-пительным термическим сопротивлением теплоотдачи с поверхности. Процесс теплообмена элементарных слоев между собой и окружающей средой определяется следующей системой уравнений:

; (1-98)

Коэффициент гидравлических сопротивлений; h - уровень жидкости в сосуде; - разница уровней жидкости в сосудах.

Расход жидкости q пропорционален разности уровней в сосудах (аналог закона теплопроводности), а приращение содержания воды в сосуде за время равно произведению площади сечения сосуда на приращение высоты уровня.

Уравнения (1.98) и (1.95) аналогичны уравнениям (1.100) и (1.101). Предположим, что цепь сосудов составлена так, что в ней величины численно равны. Начальное распределение уровней h в соответствующем масштабе изображает начальное распределение температуры в центре элементарных слоев, а изменение уровней в подвижных сосудах происходит так же, как изменение температуры окружающих сред. Тогда уровень в сосудах будет изменяться аналогично изменению температуры в элементарных слоях. Если и численно не равны и , а лишь пропорциональны им, то тепловой процесс также будет воспроизводиться на модели, по только в другом масштабе времени. Наличие такой возможности создает большие удобства, так как можно значительно ускорить иоспроизведение медленных и замедлить воспроизведение быстро протекающих процессов теплообмена. В этом случае перейти от гидравлической модели к исследуемому процессу можно посредством иыбора соответствующих масштабных соотношений.

Если все величины, входящие в уравнения (1.98) - (1.101), выразить в безразмерных величинах, то система (1.98) и (1.99) будет подобна систем

аканчивая изучение механики, познакомимся еще с одним методом исследования физических процессов - так называемым методом анализа размерностей. Рассмотрим задачу, ответ на которую нам хорошо известен: с какой скоростью упадет на землю тело, свободно падающее без начальной скорости с некоторой высоты /г, если сопротивлением воздуха можно пренебречь? Вместо того, чтобы непосредственно определять эту скорость, пользуясь соотношениями кинематики, попробуем рассуждать следующим образом. От чего вообще может зависеть эта скорость? Довольно очевидно, что от высоты h и от ускорения свободного падения g она непременно должна зависеть. Поколебавшись, мы можем включить в число величин, от; которых зависит скорость падения, и массу тела т, хотя вообще-то легко сообразить, что от массы зависимости быть не должно. Итак, предположим, что скорость падения зависит от h, g и т: v=f(h, g, т). (16.1) Какой вид может иметь функция /? Ответить на этот вопрос можно с помощью анализа размерностей. В любой системе единиц имеется несколько физических величин, для которых единицы выбраны произвольно и считаются основными. В системе единиц СГС (а для механических величин и в СИ) в качестве основных выбраны единицы длины L, времени Т и массы М. Единицы всех остальных физических величин выражаются через основные. Например, единица скорости выражается через основные единицы длины и времени как LT~ . Выражение единицы любой физической величины в определенной системе единиц через основные единицы этой системы называется размерностью данной физической величины. Поскольку складывать можно только величины одинаковой размерности, то после некоторого раздумья можно для искомой функции / предложить такую формулу: v - Chxgymz, (16.2) где С--некоторое постоянное число (безразмерная постоянная), а х, у и z - неизвестные числа, которые следует определить. Теперь учтем то обстоятельство, что если формула (16.2) правильна, то размерность ее левой части должна совпадать с размерностью правой. Размерность скорости есть LT"1, размерность высоты h есть L, размерность ускорения свободного падения g равна LT~2, и, наконец, размерность массы m равна М. Поскольку постоянная С безразмерна, то муле (16.2) соответствует следующее равенство ^мерностей: 1 LT~1 - Lx , (16.24) гле С-некоторая постоянная. Сила сопротивления "Ропорциональна скорости движения тела, вязкости и линейному размеру тела в направлении движения, ^"а оказывается не зависящей от плотности жидкости и от поперечного сечения тела. При большей скорости определяющей становитс j не вязкость жидкости, а ее плотность. Для того чтобш сила сопротивления не зависела от вязкости, нуж^Г1 чтобы функция / стремилась к постоянному значению Формула (16.23) при этом принимает вид F=Cji;2pS, (16.25) где Ct - новая постоянная. Как и можно было ожидать из качественных соображений, сопротивление в этом! случае определяется поперечным сечением тела и це! зависит от размеров тела вдоль направления движения ВОПРОСЫ 1. Почему в состоянии равновесия жидкость действует на твердое" тело только по нормали к его поверхности? 2. Объясните, почему не опрокидывается корабль, центр тяжести! которого расположен вы!пе ватерлинии? 3. При каких условиях равновесие плавающего в полностью погруженном положении тела будет устойчивым? 4. Какие предположения" лежат в основе модели идеальной жидкости? Зависит ли применимость этой модели только от свойств самой жидкости? 5. В чем причина различия в показаниях манометра при разной ориентации его чувствительного элемента в потоке жидкости? 6. Получите выражения для скорости истечения жидкости из отверстия иглы шприца непосредственно с помощью закона сохранения энергии, не используя уравнения Бернулли. 7. Почему при рассмотрении явления гидравлического удара нельзя использовать модель несжимаемой жидкости? 8. Когда силу сопротивления движению тела в жидкости или I газе можно считать пропорциональной скорости, а когда квадрату, скорости? 9. Какую роль играет циркуляция воздуха вокруг крыла для возникновения подъемной силы? 10. Что можно сказать о возможностях и ограничениях методгй анализа размерностей? 11. Разъясните, каким образом введение «векторных едипиа¦ длины» расширяет возможности метода анализа размерностей, а