Формула механической мощности. Механическая работа: определение и формула Рычаги в технике, быту и природе

Работа силы в общем случае зависит от характера движения точки приложения силы. Следовательно, для вычисления работы надо знать движение этой точки. Но в природе имеются силы и примеры движения, для которых работу можно вычислить сравнительно просто, зная начальное и конечное положение точки.

Работа силы тяжести. Силу тяжести материальной точки массой вблизи поверхности Земли можно считать постоянной, равной , направленной по вертикали вниз. Если взять оси координат , где ось направлена по вертикали вверх, то

где – высота опускания точки.

При подъеме точки высота является отрицательной. Следовательно, в общем случае работа силы тяжести равна

Если имеем систему материальных точек, то для каждой точки с массой будем иметь работу ее силы тяжести

,

где – начальная и конечная координаты точки.

Работа всех сил тяжести системы материальных точек

где – масса системы точек; и – начальная и конечная координаты центра масс системы точек. Вводя обозначение для изменения высоты центра масс , имеем

Работа линейной силы упругости. Линейной силой упругости (или линейной восстанавливающей силой) называют силу, действующую по закону Гука:

где – расстояние от точки равновесия, где сила равна нулю, до рассматриваемой точки ; – постоянный коэффициент жесткости.

. (191)

По этой формуле вычисляют работу линейной силы упругости пружины при перемещении по любому пути из точки , в которой ее удлинение (начальная деформация) равно , в точку , где деформация соответственно равна . В новых обозначениях (191) принимает вид

. (191")

Работа силы, приложенной к твердому телу . Получим формулы для вычисления элементарной и полной работы силы, приложенной в какой-либо точке твердого тела, которое совершает то или иное движение. Сначала рассмотрим поступательное и вращательное движения тела, а затем общий случай движения твердого тела.

При поступательном движении твердого тела все точки тела имеют одинаковые по модулю и направлению скорости. Следовательно, если сила приложена к точке , то, так как ,

где – радиус-вектор произвольной точки твердого тела. На каком-либо перемещении полная работа

При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси скорость точки можно вычислить по векторной формуле Эйлера:

тогда элементарную работу силы определим по формуле

. (194)

Таким образом, элементарная работа силы, приложенной к какой-либо точке тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна произведению момента силы относительно оси вращения на дифференциал угла поворота тела.

Полная работа

. (195)

В частном случае, если момент силы относительно оси вращения является постоянным, т. е. , работу определяют по формуле

Используя определение мощности силы

. (197)

Мощность силы, приложенной к вращающемуся вокруг неподвижной оси твердому телу, равна произведению угловой скорости тела на момент силы относительно оси вращения тела.

Для свободного тела в общем случае движения скорость точки , в которой приложена сила ,

следовательно,

Таким образом, элементарная работа силы, приложенной в какой-либо точке твердого тела, в общем случае движения складывается из элементарной работы на элементарном поступательном перемещении вместе с какой-либо точкой тела и на элементарном вращательном перемещении вокруг этой точки.

В случае вращения твердого тела вокруг неподвижной точки, выбрав эту точку за полюс , для элементарной работы имеем

. (199)

Поворот на угол следует рассматривать в каждый момент времени вокруг своей мгновенной оси вращения.

Работа внутренних сил твердого тела. Для твердого тела сумма работ внутренних сил равна нулю при любом его перемещении.

Кинетическая энергия

Кинетическая энергия точки и системы . Кинетической энергией материальной точки называют половину произведения массы точки на квадрат ее скорости , т.е. или , так как скалярный квадрат любого вектора равен квадрату модуля этого вектора. Кинетическая энергия является скалярной положительной величиной.

Кинетической энергией системы называют сумму кинетических энергий всех точек механической системы , т. е.

. (200)

Кинетическая энергия как точки, так и сие темы не зависит от направления скоростей точек. Кинетическая энергия может быть равна нулю для системы только при условии, если все точки системы находятся в покое.

Вычисление кинетической энергии системы (теорема Кёнига): Кинетическая энергия системы в абсолютном движении складывается из кинетической энергии центра масс, если в нем сосредоточить всю массу системы, и кинетической энергии системы относительно центра масс:

, (201)

где .

Величина – кинетическая энергия относительного движения системы относительно системы координат, движущейся поступательно вместе с ее центром масс, или кинетическая энергией системы относительно центра масс.

Кинетическая энергия твердого тела . При поступательном движении твердого тела

, (202)

так как при поступательном движении твердого тела скорости всех точек тела одинаковы, т. е. , где – общая скорость для всех точек тела.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Механическая работа – это произведение силы, приложенной к объекту, на перемещение, совершённое этой силой.

– работа (может обозначаться как ), – сила, – перемещение.

Единица измерения работы — Дж (джоуль) .

Указанная формула применима к телу, движущемуся прямолинейно и постоянном значении воздействующей на него силы. Если между вектором силы и прямой, описывающей траекторию тела есть угол, то формула принимает вид:

Кроме того, понятие работы можно определить как изменение энергии тела:

Именно такое применение этого понятия чаще всего встречается в задачах.

Примеры решения задач по теме «Механическая работа»

ПРИМЕР 1

ПРИМЕР 2

English: Wikipedia is making the site more secure. You are using an old web browser that will not be able to connect to Wikipedia in the future. Please update your device or contact your IT administrator.

中文: 维基百科正在使网站更加安全。您正在使用旧的浏览器，这在将来无法连接维基百科。请更新您的设备或联络您的IT管理员。以下提供更长，更具技术性的更新（仅英语）。

Español: Wikipedia está haciendo el sitio más seguro. Usted está utilizando un navegador web viejo que no será capaz de conectarse a Wikipedia en el futuro. Actualice su dispositivo o contacte a su administrador informático. Más abajo hay una actualización más larga y más técnica en inglés.

ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.

Français: Wikipédia va bientôt augmenter la sécurité de son site. Vous utilisez actuellement un navigateur web ancien, qui ne pourra plus se connecter à Wikipédia lorsque ce sera fait. Merci de mettre à jour votre appareil ou de contacter votre administrateur informatique à cette fin. Des informations supplémentaires plus techniques et en anglais sont disponibles ci-dessous.

日本語: ウィキペディアではサイトのセキュリティを高めています。ご利用のブラウザはバージョンが古く、今後、ウィキペディアに接続できなくなる可能性があります。デバイスを更新するか、IT管理者にご相談ください。技術面の詳しい更新情報は以下に英語で提供しています。

Deutsch: Wikipedia erhöht die Sicherheit der Webseite. Du benutzt einen alten Webbrowser, der in Zukunft nicht mehr auf Wikipedia zugreifen können wird. Bitte aktualisiere dein Gerät oder sprich deinen IT-Administrator an. Ausführlichere (und technisch detailliertere) Hinweise findest Du unten in englischer Sprache.

Italiano: Wikipedia sta rendendo il sito più sicuro. Stai usando un browser web che non sarà in grado di connettersi a Wikipedia in futuro. Per favore, aggiorna il tuo dispositivo o contatta il tuo amministratore informatico. Più in basso è disponibile un aggiornamento più dettagliato e tecnico in inglese.

Magyar: Biztonságosabb lesz a Wikipédia. A böngésző, amit használsz, nem lesz képes kapcsolódni a jövőben. Használj modernebb szoftvert vagy jelezd a problémát a rendszergazdádnak. Alább olvashatod a részletesebb magyarázatot (angolul).

Svenska: Wikipedia gör sidan mer säker. Du använder en äldre webbläsare som inte kommer att kunna läsa Wikipedia i framtiden. Uppdatera din enhet eller kontakta din IT-administratör. Det finns en längre och mer teknisk förklaring på engelska längre ned.

हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।

We are removing support for insecure TLS protocol versions, specifically TLSv1.0 and TLSv1.1, which your browser software relies on to connect to our sites. This is usually caused by outdated browsers, or older Android smartphones. Or it could be interference from corporate or personal "Web Security" software, which actually downgrades connection security.

You must upgrade your web browser or otherwise fix this issue to access our sites. This message will remain until Jan 1, 2020. After that date, your browser will not be able to establish a connection to our servers.

Вывод формулы для расчета работы сил поля при перемещении зарядов. Понятие потенциала, потенциальный характер электростатического поля. Связь между напряженностью и потенциалом. Потенциал поля плоского конденсатора, заряженной нити, цилиндрического и сферического конденсаторов.

4. 1. Вывод формулы для расчета работы сил поля при перемещении зарядов. 4. 2. Понятие потенциала, потенциальный характер электростатического поля. 4. 3. Связь между напряженностью и потенциалом. 4. 4. Потенциал поля плоского конденсатора, заряженной нити, цилиндрического и сферического конденсаторов.

4. 1. Вывод формулы для расчета работы сил поля при перемещении зарядов. Пусть имеется точечный положительный заряд. Рассчитаем работу по перемещению из точки 1 в точку 2. Рис. 4. 1. Перемещение точечного положительного заряди из точки 1 в точку 2.

(4. 1) Вывод: работа по перемещению заряда из одной точки поля в другую равна произведению величины этого заряда на разность потенциалов начальной и конечной точек траектории. К оглавлению

4. 2. Понятие потенциала, потенциальный характер электростатического поля. может служить характеристикой поля. Т. к. при функциональная часть выражения (4. 2) , то примем const = 0. Получим (4. 3) Эта величина получила название потенциал поля точечного заряда. (4. 4) (4. 5)

Потенциалом поля в данной точке называется физическая величина, численно равная работе по переносу единичного положительного заряда из данной точки поля в бесконечность. Работа сил электростатического поля равна убыли потенциальной энергии, т. е. (4. 6) (4. 7) Тогда, сравнив (4. 4) и (4. 6), получим Т. к. при (4. 8) , то Потенциалом поля в данной точке называется физическая величина, численно равная потенциальной энергии, которая приобретается единичным положительным зарядом при переносе из бесконечности в данную точку поля. Выясним свойства потенциального электростатического поля. (4. 9) Рис. 4. 2.

1. Работа по переносу из одной точки электрического поля в другую не зависит от формы траектории. (4. 10) 2. Работа по переносу заряда вдоль замкнутого пути равна нулю. 1 и 2 отражают потенциальный характер поля. 3. В электрическом поле циркуляция вектора напряженности вдоль замкнутого контура равна нулю.

Эквипотенциальные поверхности. Приставка экви- означает равный. Эквипотенциальная поверхность - это поверхность, состоящая из точек, имеющих одинаковый потенциал. Для геометрического описания электрического поля наряду с силовыми линиями используют и эквипотенциальные поверхности. 1. Силовые линии перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям. Рис. 4. 3. Эквипотенциальные поверхности 2. Работа по перемещению заряда вдоль эквипотенциальной поверхности равна нулю.

Опыт 4. 1. Демонстрация эквипотенциальных поверхностей. Цель: Демонстрация эквипотенциальных поверхностей. Оборудование: 1. Электрометр демонстрационный. 2. Конусообразный кондуктор на изолирующем штативе. 3. Эбонитовая палочка. 4. Шерсть. 5. Шарик пробный на изолирующей ручке. 6. Два проводника: один – длиной 1, 5 - 2 м гибкий, другой – для заземления электрометра. Рис. 4. 4. Установка Ход работы: Пробный шарик с длинным проводником соединён со стержнем электроскопа, корпус заземлён. Заряжаем кондуктор и шарик перемещаем по всей поверхности (наружной и внутренней) кондуктора. Показания электрометра не меняются. Выводы: поверхность заряженного проводника всюду имеет одинаковый потенциал. К оглавлению

4. 3. Связь между напряженностью и потенциалом. Пусть имеется векторное поле и некоторое скалярное поле (4. 11) Известно, что между напряженностью и потенциалом электростатического поля существует связь: (4. 12) К оглавлению

4. 4. Потенциал поля плоского конденсатора, заряженной нити, цилиндрического и сферического конденсаторов. Однородный плоский конденсатор. (4. 13) Рис. 4. 4. Однородный плоский конденсатор Задание для самостоятельной работы. Используя материал лекций 3 и 4 вывести формулы, описывающие потенциал поля заряженной нити, цилиндрического и сферического конденсаторов. К оглавлению

Для цилиндрического конденсатора мы знаем что найдем разность потенциалов между обкладками конденсатора путем интегрирования Если зазор между обкладками относительный, т. е. выполняется условие в этом случае Рис. 4. 5

Для сферического конденсатора Рис. 4. 6 Для заряженной нити, где R – толщина нити Рис. 4. 7

В данной лекции рассматриваются следующие вопросы:

1. Работа силы.

2. Консервативные силы.

2. Мощность.

3. Примеры вычисления работы.

4. Потенциальная энергия

5. Кинетическая энергия

6. Теорема об изменении кинетической энергии точки.

7. Теорема моментов.

Изучение данных вопросов необходимо для динамики движения центра масс механической системы, динамики вращательного движения твердого тела, кинетического момента механической системы, для решения задач в дисциплинах «Теория машин и механизмов» и «Детали машин».

Работа силы. Мощность.

Для характеристики действия, оказываемого силой на тело при некотором его перемещении,вводится понятие о работе силы.

Рис.1

При этом работа характеризует то действие силы, которым определяется изменение модуля скорости движущейся точки.

Введём сначала понятие об элементарной работе силы на бесконечно малом перемещении ds . Элементарной работой силы (рис.1) называется скалярная величина:

,

где - проекция силы на касательную к траектории, направленную в сторону перемещения точки, а ds - бесконечно малое перемещение точки, направленное вдоль этой касательной.

Данное определение соответствует понятию о работе, как о ха­рактеристике того действия силы, которое приводит к изменению модуля скорости точки. В самом деле, если разложить силу на составляющие и , то изменять модуль скорости точки будет только составляющая , сообщающая точке касательное ускорение. Составляющая же или изменяет направление вектора скорости v (сообщает точке нормальное ускорение), или, при несвободном дви­жение изменяет давление на связь. На модуль скорости составляю­щая влиять не будет,т.е., как говорят, сила «не будет про­изводить работу».

Замечая, что , получаем:

.(1)

Таким образом, элементарная работа силы равна проекции силы на направление перемещения точки, умноженной на элементар­ное перемещение ds или элементарная работа силы равна произведению модуля силы на элементарное перемещение ds и на косинус угла между направлением силы и направлением перемещения.

Если угол острый, то работа положительна. В частности, при элементарная работа dA = Fds .

Если угол тупой, то работа отрицательна. В частности, при элементарная работа dA =- Fds .

Если угол , т.е. если сила направлена перпендикулярно перемещению, то элементарная работа силы равна нулю.

Положительную силу F (α > 90 ° ) называют движущей , а отрицательную (α > 90 ° ) – силой сопротивления .

Найдем аналитическое выражение элементарной работы. Для этого разложим силу на составляющие по направлениям координатных осей (рис.2; сама сила на чертеже не показана).

Рис.2

Элементарное перемещение слагается из перемещений dx , dy , dz вдоль координатных осей, где x, y, z - координаты точки М . Тогда работу силы на перемещении ds можно вычислить как сумму работ её составляющих на перемещениях dx , dy , dz .

Но на перемещении dx совершает работу только составляющая , причем её работа равна F x dx . Работа на перемещениях dy и dz вычисляется аналогично.

Окончательно находим: dA = F x dx + F y dy + F z dz .

Формула дает аналитическое выражение элементарной работы силы.

Работа силы на любом конечном перемещении М 0 М 1 вычисляется как интегральная сумма соответствующих элементарных работ и будет равна:

Следовательно, работа силы на любом перемещении М 0 М 1 равна взятому вдоль этого перемещения интегралу от элементарной работы. Пределы интеграла соответствуют значениям пере­менных интегрирования в точках М 0 и М 1 . Графически площадь под всей кривой М 0 и М 1 и будет искомой работой.

Рис.3

Если величина постоянна (, то и обозначая перемеще­ние М 0 М 1 через получим: .

Такой случай может иметь место,когда действующая силапостоянна по модулю и направлению (F = const ), а точка, к ко­торой приложена сила, движется прямолинейно (рис.3). В этом случае и работа силы .

Единицей измерения работы в системе СИ является джоуль (1 дж = 1 Н ∙ м ). 1 Дж – работа, совершаемая силой 1 Н на 1 м пути.

Консервативные силы .

Силы, действующие на тело, могут быть консервативными и неконсервативными. Сила называется консервативной или потенциальной , если работа, совершаемая этой силой при перемещении материальной точки из одного положения в другое, не зависит от вида траектории (формы пути) и определяется только начальным и конечным положениями тела (рис.3.1): А 1В2 = А 1С2 = А 12 .

Рис.3.1

В случае, если тело движется в обратном направлении А 12 = –А 21 , т.е. изменение направления движения по траектории на противоположное вызывает изменение знака работы. Следовательно, при движении материальной точки по замкнутой траектории работа консервативной силы равна нулю (например, поднятие и опускание груза):

Консервативными силами являются силы гравитационного взаимодействия, силы упругости, электростатические силы. Силы, не удовлетворяющие условию (1), называются неконсервативными . К неконсервативным силам относят силы трения и сопротивления. Поле, в котором действуют консервативные силы, называется потенциальным.

Мощность.

Мощностью называется величина, определяющая работу, совершаемую силой в единицу времени. Если работа совершается равномерно, то мощность

где t - время, в течение которого произведена работа A . В общем случае

Следовательно, мощность равна произведению касательной состав­ляющей силы на скорость движения.

Единицей измерения мощности в системе СИ является ватт (1 вт = 1 дж /сек). В технике за единицу мощности часто принимается 1 лошадиная сила, равная 75 кГм /сек или 736 вт.

Работу, произведенную машиной, можно измерять произведением ее мощности на время работы. Отсюда возникла употребительная в технике единица измерения работы киловатт-час (1 квт-ч = 3,6 ∙ 10 6 дж ≈ 367100 кГм ).

Из равенства видно, что у двигателя, имеющего дан­ную мощность W , сила тяги будет тем больше, чем меньше ско­рость движения V . Поэтому, например, на подъеме или на плохом участке дороги у автомобиля включают низшие передачи, позволяю­щие при полной мощности двигаться с меньшей скоростью и раз­вивать большую силу тяги.

Примеры вычисления работы.

Рассмотренные ниже при­меры дают результаты, которыми можно непосредственно пользо­ваться при решении задач.

1) Работа силы тяжести. Пусть точка М, на которую действует сила тяжести , перемещается из положения М ­0 ( x ­ 0 , у 0 , z 0 ) в положение M 1 (х 1 , у 1 , z 1 ). Выберем оси координат так, чтобы ось Oz была направлена вертикально вверх (рис.4).

Рис.4

Тогда Р x =0, Р y =0, P z = -Р . Подставляя эти значения и учитывая перемен­ную интегрирования z :

Если точка M 0 выше М 1 , то , где h -величина вер­тикального перемещения точки;

Е сли же точка M 0 ниже точки M 1 то .

Окончательно получаем: .

Следовательно, работа силы тяжести равна взятому со зна­ком плюс или минус произведению модуля силы на вертикальное перемещение точки ее приложения. Работа положительна, если начальная точка выше конечной , и отрицательна, если начальная точка ниже конечной. Из полученного результата следует, что работа силы тяжести не зависит от вида той траектории, по которой перемещается точка ее приложения.

Силы, обла­дающие таким свойством, назы­ваются потенциальными.

2) Работа силы упругости . Рассмотрим груз М , лежащий на горизонтальной плоскости и прикрепленный к свободному концу некоторой пружины (рис.5,а). Отметим на плоскости точкой О поло­жение, занимаемое концом пружины, когда она не напряже­на (- длина ненапряженной пружины), и примем эту точку за начало координат. Если теперь оттянуть груз от равновесного положения О , удлинив пружину до величины l , то на груз будет действовать сила упругости пружины F , направленная к точке О .

Рис.5

По закону Гука величина этой силы пропорциональна удлинению пружины . Так как в нашем случае , то по модулю

Коэффициент с называется коэффициентом жесткости пружины. В технике обычно измеряют величину с в H/см, полагая коэф­фициент с численно равным силе, которую надо приложить к пру­жине, чтобы растянуть ее на 1 см .

Найдем работу, совершаемую силой упругости при перемещении груза из положения в положение Так как в данном случае F x =- F =- cx , F y = F z =0, то получим:

(Этот же результат можно получить по графику зависимости F от х (рис.20, б), вычисляя площадь заштрихованной на чертеже тра­пеции и учитывая знак работы.) В полученной формуле представ­ляет собою начальное удлинение пружины , а конечное удлинение пружины . Следовательно,

т.е. работа силы упругости равна половине произведения коэффи­циента жесткости на разность квадратов начального и конеч­ного удлинений (или сжатий) пружины.

Работа будет положительной, когда , т. е. когда конец пружины перемещается к равновесному положению, и отрица­тельной, когда , т.е. конец пружины удаляется от равновесия положения. Можно доказать, что формула ос­тается справедливой и в случае, когда пе­ремещение точки М не является прямо­линейным.

Таким образом, оказывается, что работа силы F зависит только от значе­ний и и не зависит от вида траектории точки М . Следовательно, сила упругоститакже является потенциальной.

Рис.6

3) Работа силы трения. Рассмотрим точку, движущуюся по какой-нибудь шероховатой поверхности (рис.6) или кривой. Действующая на точку сила трения равна по модулю fN , где f - коэффициент трения, а - нормальная реакция поверхности. Направлена сила трения противоположно перемещению точки. Следовательно, F тр =- fN и по формуле

Если величина силы трения постоянна, то , где s -длина дуги кривой М 0 М 1 по которой перемещается точка.

Таким образом, работа силы трения при скольжении всегда отрицательна . Величина этой работы зависит от длины дуги М 0 М 1 . Следовательно, сила трения является силой непотенциальной .

4) Работа силы, приложенной к телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси.

В этом случае (рис.7) точка приложения силы движется по окружности радиуса r . Элементарная работа, по (1), , где .

Рис.7

Поэтому .

Но .

Это нетрудно установить, разложив силу на три составляющие (рис. 7). (Моменты сил и равны нулю). Значит,

(2)

В частности, если момент силы относительно оси , работа силы при повороте тела на угол равна

.(3)

Знак работы определяется знаками момента силы и угла поворота. Если они одинаковы, работа положительная.

Из формулы (3) следует и правило определения работы пары сил. Если пара с моментом m расположена в плоскости перпендикулярной оси вращения тела, то ее работа при повороте тела на угол

.(4)

Если же пара сил действует в плоскости не перпендикулярной оси вращения, то ее надо заменить двумя парами. Одну расположить в плоскости перпендикулярной оси, другую – в плоскости параллельной оси. Моменты их определяются разложением вектора момента по соответствующим направлениям: . Конечно работу будет совершать только первая пара с моментом , где – угол между вектором и осью вращения z ,

.(5)

Энергия .

Мерой поступательного движения является импульс тела, но эта характеристика не универсальная. Универсальной количественной мерой движения и взаимодействия всех видов материи является энергия . Формы энергии: механическая, тепловая, электрическая, ядерная, внутренняя и др. Энергия из одной формы может переходить в другую. Энергия механической системы количественно характеризует ее с точки зрения возможных количественных и качественных превращений движения. Эти превращения обусловлены взаимодействием тел системы между собой и с внешними телами. Таким образом, движение и энергия неразрывно связаны между собой, а т.к. движение является неотъемлемой частью материи, то всякое тело обладает какой-либо энергией.

Кинетической энергией тела называют энергию, являющуюся мерой его механического движения и определяемую работой, которую надо совершить, чтобы вызвать это движение.

Если под действием силы тело из состояния покоя приходит в движение со скоростью , то будет совершаться работа, и энергия тела возрастает на величину затраченной работы:

где - перемещение; dA – элементарная работа.

С учетом скалярной записи второго закона Ньютона:

Получим

А так как совершаемая работа равна приращению энергии, то

Полная энергия находится путем интегрирования, при изменении скорости от 0 до некоторого значения V :

Кинетическая энергия всегда положительна . Кинетическая энергия системы материальных точек равна алгебраической сумме кинетических энергий всех материальных точек системы.

Кинетическая энергия системы есть функция состояния ее движения.

Кинетическая энергия зависит от выбора системы отсчета, т.к. в различных инерциальных системах отсчета скорость неодинакова.

Потенциальная энергия – часть общей механической энергии системы, определяемая взаимным расположением тел, действующих друг на друга.

Часть пространства, в которой на помещенную туда материальную точку действует сила, зависящая от места положения точки, называется силовым полем.

Причем, эта сила определяетсяспомощью силовой функции u = u (x , y , z ). Если она не зависит от времени, то такое поле называется стационарным. Если во всех точках она одинакова, то поле – однородное.

Если же проекции силы на декартовы оси есть частные производные от силовой функции по соответствующим координатам

то такое поле называется потенциальным.

Если работа зависит от траектории, то силы называются диссипативными (сила трения).

Вычислим работу силы потенциального поля при перемещении точки из положения М 1 в положение М 2. (рис. 8).

Рис.8

Элементарная работа,

Это есть полный дифференциал силовой функции.

Работа на конечном перемещении

где u 2 и u 1 – значения силовой функции в точках М 2 и М 1 .

Следовательно, работа силы потенциального поля не зависит от траектории движения точки, а определяется лишь значениями силовой функции в начальном и конечном положениях точки.

Естественно, если точка вернется в начальное положение, работа силы будет равна нулю. Работа окажется равнойнулю и при переходе в другую точку М 3 , если там значение силовой функции будет такое же, как и в начальном положении.

Нетрудно догадаться, что точки с одинаковыми значениями силовой функции будут образовывать целую поверхность. И что силовое поле – это слоеное пространство, состоящее из таких поверхностей (рис. 8). Эти поверхности называются поверхностями уровня или эквипотенциальными поверхностями . Уравнения их: u ( x , y , z )= C (C – постоянная, равная значению u в точках этой поверхности). А силовую функцию называют, соответственно, потенциалом поля .

Конечно, эквипотенциальные поверхности не пересекаются. Иначе существовали бы точки поля с неопределенным потенциалом.

Поскольку, при перемещении точки по эквипотенциальной поверхности работа силы равна нулю, то вектор силы перпендикулярен поверхности.

Выберем среди этих поверхностей какую-нибудь одну и назовем ее нулевой поверхностью (положим у нее u = u 0 ).

Работа, которую совершит сила при переходе точки из определенного места М на нулевую поверхность, называют потенциальной энергией точки в этом определенном месте М:

Если тело находится в потенциальном поле сил, то оно будет обладать потенциальной энергией. Потенциальную энергию тела, связанного с нулевым уровнем системы отсчета, принимают нулевой, а энергию других положений отсчитывают относительно нулевого уровня.

По (8) силовая функция . Поэтому проекции силы на декартовы оси, по (6), так как ,

и вектор силы .

Рассмотрим несколько потенциальных полей.

1) Поле силы тяжести.

Вблизи поверхности Земли сила тяжести во всех точках одинакова , равна весу тела. Значит, это силовое поле однородное. Так как при перемещении точки в горизонтальной плоскости работа силы равна нулю, то эквипотенциальными поверхностями будут горизонтальные плоскости (рис. 9), а уравнения их: u = z = C .

Рис.9

Если нулевой поверхностью назначить плоскость xOy , то потенциальная энергия точки в положении М будет равна работе силы тяжести:

W П = A = Ph = mgh .

это энергия тела, поднятого над Землей на высоту h .

Так как начало отсчета выбирается произвольно, то W П может в общем случае принимать и отрицательные значения (например, W П на дне шахты).

2) Поле упругой силы.

При деформации упругого тела, например пружины, появляется сила. То есть около этого тела возникает силовое поле, силы которого пропорциональны деформации тела и направлены в сторону недеформированного состояния. У пружины – в точку М 0 , где находится конец недеформированной пружины (рис. 10).

Рис.10

Если перемещать конец пружины так, чтобы длина ее не изменялась, то работа упругой силы будет равна нулю. Значит эквипотенциальными поверхностями являются сферические поверхности с центром в точке О .

Назначим нулевой поверхностью сферу, проходящую через точку М 0 , через конец недеформированной пружины. Тогда потенциальная энергия пружины в положении М : W П = A = 0,5 kx 2 .

При таком выборе нулевой поверхности потенциальная энергия всегда будет положительной (W П >0), и в растянутом, и в сжатом состоянии.

Полная механическая энергия системы равна энергии механического движения и энергия взаимодействия:

Полная механическая энергия тела при его перемещении вдоль любой траектории в потенциальном поле остается постоянной.

Пример 1. Автомобиль массы M движется прямолинейно по горизонтальной дороге со скоростью v . Коэффициент трения качения между колесами автомобиля и дорогой равен f k , радиус колес – r , сила аэродинамического сопротивления воздуха пропорциональна квадрату скорости: , где μ – коэффициент, зависящий от формы автомобиля. Определить мощность двигателя, передаваемую на оси ведущих колес, в установившемся режиме.

Решение.

В соответствии с теоремой об изменении кинетической энергии будем иметь

где - элементарная работа движущей силы, - элементарная работа сил сопротивления движению. В установившемся режиме скорость v автомобиля постоянна и, следовательно, его кинетическая энергия не изменяется, т.е. dT =0. Это означает, что . Раскроем правую часть полученного равенства:

Здесь dS – элементарное перемещение автомобиля. Тогда мощность, передаваемая двигателем на оси ведущих колес, будет равна

Таким образом, при движении с постоянной скоростью по горизонтальной дороге двигатель автомобиля развивает постоянную мощность; соответственно, топливо в баке расходуется равномерно.

Пример 2. Стальной шарик сброшен с высоты H = 15 м без начальной скорости. Найти скорость шарика V в момент его удара о землю. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение.

На шарик действует только сила тяжести, которая является потенциальной и ее потенциал явно от времени не зависит. Следовательно, в соответствии с (10), полная механическая энергия шарика при его движении будет постоянной

Так как в начальный момент времени шарик покоился и обладал только потенциальной энергией, то в момент удара о землю вся его начальная потенциальная энергия переходит в кинетическую энергию

Отсюда следует, что Результат решения этой задачи дает нам право утверждать, что скорость свободного падения тел не зависит от их массы.

Пример 3 . Рассмотрим свободное падение камня массой m , брошенного в поле гравитации Земли из точки 1 в точку 2 (рис. 11).

Рис.11

Элементарная работа, совершаемая силой тяжести при перемещении камня, равна:

Полная работа на участке 1–2 находится как

где F гр = mg – сила тяжести; тогда получаем:

Из последнего выражения видно, что работа определяется только положением начальной и конечной точек траектории тела.

Пример 4 . Найдем потенциальную энергию упруго деформированного тела (пружины). Известно, что сила упругости пропорциональна деформации x :

где k – коэффициент упругости; x – значение деформации; знак (–) указывает, что F упр направлена в сторону, противоположную деформации.

Для преодоления силы упругости необходимо приложить силу:

Элементарная работа – работа, совершаемая при бесконечно малой деформации:

Полная работа найдется как

Работа в данном примере идет на увеличение потенциальной энергии пружины. Если при x = 0 W on = 0, то с = 0. Потенциальная энергия упругодеформированного тела равна

Пример 5 . Материальная точка массой m движется по оси О х в потенциальном силовом поле с энергией, зависящей от координаты x по закону: W р = - α x 4 , где α - положительная постоянная. Найти зависимость ускорения точки от координаты x .

Решение. Используя связь между силой и потенциальной энергией:

найдем зависимость силы от координаты x :

По второму закону Ньютона получим выражение для ускорения:

Если аналитически или графически задана зависимость потенциальной энергии от угла поворота при вращательном движении, то, применяя соотношение , можно выразить момент силы, а также найти угловое ускорение

Пример 6 . Вагон массой m = 20 т, двигаясь равнозамедленно с начальной скоростью v 0 = 54 км/ч, под действием силы трения F mp = 6 кН через некоторое время останавливается. Найти работу A сил трения и расстояние S , которое вагон пройдет до остановки.

Решение.

1) Работа А , совершаемая результирующей силой, может быть определена как мера изменения кинетической энергии материальной точки:

где W k = mv 2 /2=0.

Отсюда A =- W k 0 ;

A =-2,25 МДж

2) Расстояние

Ответ: Работа сил трения равна -2,25 МДж , расстояние которое вагон пройдет до остановки 375 м.

Пример 7 . На рисунке изображена зависимость проекции F x силы, действующей на материальную точку, от координаты х. Определить работу, совершенную при перемещении точки на расстояние 5 м.

Рис.12

Решение. Согласно условию сила зависит от координаты x . Работа переменной силы на участке от x 1 до x 2 равна

Геометрически интеграл можно интерпретировать как площадь фигуры, ограниченной соответствующим участком графика, отрезком оси x и перпендикулярами, опущенными из конечных точек графика на ось абсцисс. На первом участке графика проекция силы F x отрицательна и работа тоже отрицательна. Численно она равна площади треугольника. На втором и третьем участках F x > 0, работы на этих участках положительны и вычисляются как соответствующие площади прямоугольника и треугольника. В результате имеем:

А = -(1 ∙ 2)/2 + 1 ∙ 2 + (1 ∙ 1) ∙ 2 = 1,5 Дж.

Если задана зависимость момента силы от угловой координаты φ , то расчет работы производится по аналогичной формуле либо аналитически, либо графически.

Пример 8 . К ободу диска массой m = 5 кг приложена касательная сила F = 19,6 Н. Какую кинетическую энергию W к будет иметь диск через время t = 5 c после начала действия силы?

Решение.

1) - кинетическая энергия диска;

2) ω = ε t - угловая скорость;

3)

4) Момент инерции для диска ;

6)Подставив данные, получим:

Ответ: Кинетическая энергия, через 5 с. после начала действия силы будет равна 1,9 кДж.

Теорема об изменении кинетической энергии точки.

Рассмотрим точку с массой т, перемещающуюся под действием при­ложенных к ней сил из положения M 0 , где она имеет скорость , в положение М 1 , где ее скорость равна .

Для получения искомой зависимости обратимся к уравнению выражающему основной закон динамики. Проектируя обе части этого равенства на касательную к траектории точ­ки М, направленную в сторону движения, получим:

Стоящую слева величину касательного ускорения можно пред­ставить в виде

В результате будем иметь:

Умножив обе части этого равенства на ds , внесем т под знак дифференциала. Тогда, замечая, что где - эле­ментарная работа силы F k получим выражение теоремы об изме­нении кинетической энергии в дифференциальной форме:

Проинтегрировав теперь обе части этого равенства в пределах, соответствующих значениям переменных в точках M 0 и M 1 , найдем окончательно:

Уравнение выражает теорему об изменении кине­тической энергии точки в конечном виде: изменение кинетической энергии точки при некотором ее перемещении равно алгебраической сумме работ всех действующих на точку сил на том же перемещении.

Пример 9 . По графику зависимости скорости от времени v (t ) определить, является ли работа силы, действующей на материальную точку в интервале времени от 0 до τ положительной, отрицательной, равной нулю (рис.13). Учесть, что АО = ОВ.

Рис.13

Решение. Работа силы, действующей на частицу, равна приращению кинетической энергии частицы.

Кинетическая энергия материальной точки связана со скоростью соотношением Поскольку скорости частицы в моменты времени t =0 и t = τ согласно условию задачи равны по величине (на графике АО = ОВ), то и кинетические энергии в этих состояниях одинаковы, т.е. Следовательно, работа приложенной силы за указанный промежуток времени равна нулю.

Пример 10 . Точка движется по оси Ox под действием силы, направленной вдоль оси x (рис.14). Сравните значения кинетической энергии точки в начальном и конечном состояниях для случаев, когда проекция силы на ось координат изменяется согласно графикам “а” и “б” ?

Рис.14

Решение. Согласно теореме приращение кинетической энергии частицы равно работе силы, действующей на частицу.

Работа переменной силы определяется соотношением Учитывая геометрический смысл интеграла (площадь криволинейной трапеции), нетрудно видеть, что в случае “а” работа равна нулю и кинетические энергии начального и конечного состояний совпадают. В случае “б” работа положительна и кинетическая энергия конечного состояния больше, чем начального.

Пример 11 . Два диска с равными массами, на разных размеров (R A = 2 R B ) раскручивают до одинаковых угловых скоростей. Найти отношения произведенных работ.

Решение. Работа по раскручиванию диска равна приращению кинетической энергии, т.е. A = ∆ W k . Начальная кинетическая энергия каждого диска равна нулю, конечная связана с угловой скоростью формулой

Учитывая, что момент инерции сплошного однородного диска равен z , в чем можно убедиться, проектируя обе части равенства на эту ось. Ма­тематическое выражение теоремы моментов относительно оси дается формулой .

Вопросы для самопроверки

- Каковы две меры механического движения и соответствующие им измерители действия силы?

- Какие силы называют движущими?

- Какие силы называют силами сопротивления?

- Запишите формулы для определения работы при поступательном и вращательном движениях?

- Какую силу называют окружной? Что такое вращающий момент?

- Сформулируйте теорему о работе равнодействующей.

- Как определяется работа постоянной по модулю и направлению силы на прямолинейном перемещении?

- Чему равна работа силы трения скольжения, если эта сила постоянна по модулю и направлению?

- Каким простым способом можно вычислить работу постоянной по модулю и направлению силы на криволинейном перемещении?

- Чему равна работа равнодействующей силы.

- Как выразить элементарную работу силы через элементарный путь точки приложения силы и как – через приращение дуговой координаты этой точки?

- Каково векторное выражение элементарной работы?

- Каково выражение элементарной работы силы через проекции силы на оси координат?

- Напишите различные виды криволинейного интеграла, определяющего работу переменной силы на конечном криволинейном перемещении.

- В чем состоит графический способ определения работы переменной силы на криволинейном перемещении?

- Как вычисляются работа силы тяжести и работа силы упругости?

- На каких перемещениях работа силы тяжести: а) положительна, б) отрицательна, в) равна нулю.

- В каком случае работа силы упругости положительна и в каком – отрицательна?

- Какая сила называется: а) консервативной; б) неконсервативной; в) диссипативной?

- Что называется потенциалом консервативных сил?

- Какое поле называется потенциальным?

- Что называется силовой функцией?

- Что называется силовым полем? Приведите примеры силовых полей.

- Какими математическими зависимостями связаны потенциал поля и силовая функция?

- Как определить элементарную работу сил потенциального поля и работу этих сил на конечном перемещении системы, если известна силовая функция поля?

- Какова работа сил, действующих на точки системы в потенциальном поле, на замкнутом перемещении?

- Чему равна потенциальная энергия системы в любом ее положении?

- Чему равно изменение потенциальной энергии механической системы при перемещении ее из одного положения в другое?

- Какая зависимость существует между силовой функцией потенциального поля и потенциальной энергией системы, находящейся в этом поле?

- Вычислите изменение кинетической энергии точки массой 20 кг, если ее скорость увеличилась с 10 до 20 м/с?

- Как определяются проекции на координатные оси силы, действующей в потенциальном поле на любую точку системы?

- Какие поверхности называются эквипотенциальными и каковы их уравнения?

- Как направлена сила, действующая на материальную точку в потенциальном поле, по отношению к эквипотенциальной поверхности, проходящей через эту точку?

- Чему равна потенциальная энергия материальной точки и механической системы, находящихся под действием сил тяжести?

- Какой вид имеют эквипотенциальные поверхности поля силы тяжести и ньютоновой силы тяготения?

- В чем заключается закон сохранения и превращения механической энергии?

- Почему под действием центральной силы материальная точка описывает плоскую кривую?

- Что называют секторной скоростью и как выразить ее модуль в полярных координатах?

- В чем заключается закон площадей?

- Какой вид имеет дифференциальное уравнение в форме Бине , определяющее траекторию точки, движущейся под действием центральной силы?

- По какой формуле определяется модуль ньютоновой силы тяготения?

- Каков канонический вид уравнения конического сечения и при каких значениях эксцентриситета траектория тела, движущегося в поле ньютоновой силы тяготения, представляет собой окружность, эллипс, параболу, гиперболу?

- Сформулируйте законы движения планет, открытые Кеплером.

- При каких начальных условиях тело становится спутником Земли и при каких оно способно преодолеть земное притяжение?

- Каковы первая и вторая космические скорости?

- Запишите формулы для расчета работы при поступательном и вращательном движениях?

- Вагон массой 1000 кг перемещают по горизонтальному пути на 5 м, коэффициент трения 0,15. Определите работу силы тяжести?

- Запишите формулы для расчета мощности при поступатель­ном и вращательном движениях?

- Определите мощность, необходимую для подъема груза весом 0,5 кН на высоту 10 м за 1 мин?

- Чему равна работа силы, приложенной к прямолинейно движущемуся телу массой 100 кг, если скорость тела увеличилась с 5 до 25 м/с?

- Определите общий КПД механизма, если при мощности двигателя 12,5 кВт и общей силе сопротивления движению 2 кН скорость движения 5 м/с.

- Если автомобиль въезжает на гору при неизменной мощности двигателя, то он уменьшает скорость движения. Почему?

- Работа постоянной силы при прямолинейном перемещении W =10 Дж . Какой угол составляет направление силы с направлением перемещения?

1) острый угол;

2) прямой угол;

3) тупой угол.

- Как изменится кинетическая энергия прямолинейно движущейся точки, если ее скорость увеличится в два раза?

1) увеличится в два раза;

2) увеличится в четыре раза.

- Чему равна работа силы тяжести при горизонтальном перемещении тела?

1) произведению силы тяжести на перемещение;

2) работа силы тяжести равна нулю.

- Закон сохранения механической энергии выполняется, если

1) сумма всех внутренних сил равна нулю;

2) сумма всех скоростей рана нулю;

3) сумма всех внешних сил;

4) сумма всех моментов внешних сил рана нулю;

5) при действии консервативных сил .

- Работа в механике равна

1)

1 ) силы, работы которых не зависят от формы пути;

2 ) силы, работы которых зависят от формы пути;

3 ) силы трения;

4 ) силы тяготения;

5 ) электростатические силы.

- Чему равна работа равнодействующей силы:

1 ) изменению кинетической энергии тела ;

2 ) кинетической энергии