Исследовательская работа "многогранники и тела вращения" в рамках учебно - сетевого проекта "первые шаги в пространстве". Многогранники и тела вращения. методическая разработка по геометрии (11 класс) на тему Построение развертки цилиндра

Студент должен:

знать:

понятие многогранника, его поверхности, понятие правильного многогранника;

определение призмы, параллелепипеда; виды призм; определение пирамиды, правильной пирамиды;

понятие тела вращения и поверхности вращения;

определение цилиндра, конуса, шара, сферы;

уметь:

изображать и вычислять основные элементы прямых призм, параллелепипедов и пирамид;

строить простейшие сечения многогранников, указанных выше.

Вершины, ребра, грани многогранника. Развертка. Многогранные углы. Выпуклые многогранники. Теорема Эйлера.

Призма. Прямая и наклонная призма. Правильная призма. Параллелепипед. Куб.

Пирамида. Правильная пирамида. Усеченная пирамида . Тетраэдр.

Симметрии в кубе, в параллелепипеде, в призме и пирамиде.

Сечения куба, призмы и пирамиды.

Представление о правильных многогранниках (тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр).

Цилиндр и конус. Усеченный конус . Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развертка.Осевые сечения и сечения, параллельные основанию.

Шар и сфера, их сечения. Касательная плоскость к сфере.

Тема 9. «Начала математического анализа»

Студент должен:

знать:

определение числовой последовательности;

понятие производной, ее геометрический и физический смысл;

правила и формулы дифференцирования функций, перечисленных в программе дисциплины;

уравнение касательной к графику функции в указанной точке, понятие углового коэффициента прямой;

достаточные признаки возрастания и убывания функции, существования экстремумов;

определение второй производной, ее физический смысл;

общую схему исследования функций и построения графиков с помощью производной;

правило нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на промежутке;

определение первообразной;

таблицу и правила вычисления первообразных;

понятие определенного интеграла, его геометрический смысл;

понятие криволинейной трапеции, способ вычисления площади криволинейной трапеции с помощью первообразной и определенного интеграла;

уметь:

дифференцировать функции, используя таблицу и правила вычисления производных;

вычислять значение производной функции в указанной точке;

находить угловой коэффициент касательной, составлять уравнение касательной к графику функции в указанной точке;

применять производную для нахождения промежутков монотонности и экстремумов функции;

находить производную второго порядка, применять вторую производную для исследования функции;

находить наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке;

решать несложные прикладные задачи на нахождение наибольших и наименьших значений реальных величин;

вычислять первообразные элементарных функций с помощью таблиц и правил;

вычислять первообразную, удовлетворяющую заданным начальным условиям;

вычислять определенный интеграл с помощью формулы Ньютона-Лейбница;

находить площади криволинейных трапеций.

Последовательности. Способы задания и свойства числовых последовательностей. Понятие о пределе последовательности. Существование предела монотонной ограниченной последовательности. Суммирование последовательностей. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма.

Понятие о непрерывности функции.

Производная. Понятие о производной функции, её геометрический и физический смысл. Уравнение касательной к графику функции. Производные суммы, разности, произведения, частного. Производные основных элементарных функций. Применение производной к исследованию функций и построению графиков. Производные обратной функции и композиции функции .

Примеры использования производной для нахождения наилучшего решения в прикладных задачах. Вторая производная, ее геометрический и физический смысл. Применение производной к исследованию функций и построению графиков. Нахождение скорости для процесса, заданного формулой и графиком.

Первообразная и интеграл. Применение определенного интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции. Формула Ньютона-Лейбница. Примеры применения интеграла в физике и геометрии.

Куб, шар, пирамида, цилиндр, конус - геометрические тела. Среди них выделяют многогранники. Многогранником называют геометрическое тело, поверхность которого состоит из конечного числа многоугольников. Каждый из этих многоугольников называется гранью многогранника, стороны и вершины этих многоугольников - соответственно ребрами и вершинами многогранника.

Двугранные углы между соседними гранями, т.е. гранями, име­ющими общую сторону - ребро многогранника - являются так­же и двугранными умами многогранника. Углы многоугольников - граней выпуклого многоугольника - являются плоскими умами многогранника. Кроме плоских и двугранных углов у выпуклого многогранника имеются еще и многогранные углы. Эти углы образу­ют грани, имеющие общую вершину.

Среди многогранников различают призмы и пирамиды.

Призма - это многогранник, поверхность которого состоит из двух равных многоугольников и параллелограммов, имеющих об­щие стороны с каждым из оснований.

Два равных многоугольника называются основаниями ггризмьг, а параллелограммы - ее боковыми гранями. Боковые грани образуют боковую поверхность призмы. Ребра, не лежащие в основаниях, называются боковыми ребрами призмы.

Призму называют п-угольной, если ее основаниями являются я-угольники. На рис. 24.6 изображена четырехугольная призма АВСDА"В"С"D".

Призму называют прямой, если ее боковыми гранями являются прямоугольники (рис. 24.7).

Призму называют правильной , если она прямая, а ее основа­ния - правильные многоугольники.

Четырехугольную призму называют параллелепипедом , если ее основания - параллелограммы.

Параллелепипед называют прямоугольным, если все его грани - прямоугольники.

Диагональ параллелепипеда - это отрезок, соединяющий его противоположные вершины. У параллелепипеда четыре диаго­нали.

Доказано, что диагонали параллелепи­педа пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Диагонали прямо­угольного параллелепипеда равны.

Пирамида - это многогранник, по­верхность которого состоит из много­угольника - основания пирамиды, и треугольников, имеющих общую верши­ну, называемых боковыми гранями пи­рамиды. Общая вершина этих треуголь­ников называется вершиной пирамиды, ребра, выходящие из вер­шины, - боковыми ребрами пирамиды.

Перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на основа­ние, а также длина этого перпендикуляра называется высотой пи­рамиды.

Простейшая пирамида - треугольная или тетраэдр (рис. 24.8). Особенность треугольной пирамиды состоит в том, что любую грань можно рассматривать как основание.

Пирамиду называют правильной, если в основании ее лежит правильный многоугольник, а все боковые ребра равны между собой.

Заметим, что следует различать правильный тетраэдр (т.е. тетра­эдр, у которого все ребра равны между собой) и правильную тре­угольную пирамиду (в ее основании лежит правильный треуголь­ник, а боковые ребра равны между собой, но их длина может от­личаться от длины стороны треугольника, который является ос­нованием призмы).

Различают выпуюше и невыпуклые многогранники. Определить вы­пуклый многогранник можно, если воспользоваться понятием вы­пуклого геометрического тела: многогранник называют выпуклым. если он является выпуклой фигурой, т.е. вместе с любыми двумя своими точками целиком содержит и соединяющий их отрезок.

Можно определить выпуклый многогранник иначе: многогран­ник называют выпуклым, если он полностью лежит по одну сторо­ну от каждого из ограничивающих его многоугольников.

Данные определения равносильны. Доказательство этого факта не приво­дим.

Все многогранники, которые до сих пор рассматривались, были выпуклыми (куб, параллелепипед, призма, пирамида и др.). Многогранник, изображенный на рис. 24.9, выпуклым не является.

Доказано, что в выпуклом многогран­нике все грани являются выпуклыми многоугольниками.

Рассмотрим несколько выпуклых многогранников (таблица 24.1)

Из этой таблицы следует, что для всех рассмотренных выпук­лых многогранников имеет место равенство В - Р + Г = 2. Оказа­лось, что оно справедливо и для любого выпуклого многогранни­ка. Впервые это свойство было доказано Л.Эйлером и получило название теоремы Эйлера.

Выпуклый многогранник называют правильным, если его гра­нями являются равные правильные многоугольники и в каждой вершине сходится одинаковое число граней.

Используя свойство выпуклого многогранного угла, можно до­казать, что различных видов правильных многогранников существу­ет не более пяти.

Действительно, если фан и многогранника - правильные тре­угольники, то в одной вершине их может сходиться 3, 4 и 5, так как 60" 3 < 360°, 60° - 4 < 360°, 60° 5 < 360°, но 60° 6 = 360°.

Если в каждой вершине многофанника сходится три правиль­ных треугольника, то получаем правшш/ый тетраэдр, что в пере­воде с феческого означает «четырехгранник» (рис. 24.10, а).

Если в каждой вершине многогранника сходится четыре пра­вильных треугольника, то получаем октаэдр (рис. 24.10, в). Его поверхность состоит из восьми правильных треугольников.

Если в каждой вершине многогранника сходится пято правиль­ных треугольников, то получаем икосаэдр (рис. 24.10, г). Его поверх­ность состоит из двадцати правильных треугольников.

Если грани многофанника - квадраты, то в одной вершине их может сходиться только три, так как 90° 3 < 360°, но 90° 4 = 360°. Этому условию удовлетворяет только куб. Куб имеет шесть фаней и поэтому называется также гексаэдром (рис. 24.10, б).

Если граани многофанника - правильные пятиугольники, то в одной вершине их может сходиться только фи, так как 108° 3 < 360°, пятиугольники и в каждой вершине сходится три грани, называется додекаэдром (рис. 24.10, д). Его поверхность состоит из двенадцати правильных пятиугольников.

Шестиугольными и более грани многогранника не могут быть, так как даже для шестиугольника 120° 3 = 360°.

В геометрии доказано, что в трехмерном евклидовом простран­стве существует ровно пять различных видов правильных много­гранников’.

Чтобы изготовить модель многогранника, нужно сделать его развертку (точнее развертку его поверхности).

Развертка многогранника - это фигура на плоскости, которая получается, если поверхность многогранника разрезать но некото рым ребрам и развернуть ее так, чтобы все многоугольники, вхо­дящие в эту поверхность, лежали в одной плоскости.

Отметим, что многогранник может иметь несколько различных разверток в зависимости от того, какие ребра мы разрезали. На рисунке 24.11 показаны фиг"уры, которые являются различными развертками правильной четырехугольной пирамиды, т.е. пирами­ды, в основании которой лежит квадрат, а все боковые ребра рав­ны между собой.

Чтобы фигура на плоскости была разверткой выпуклого много­гранника, она должна удовлетворять ряду требований, связанных с особенностями многогранника. Например, фигуры на рис. 24.12 не являются развертками правильной четырехугольной пирамиды: в фигуре, изображенной на рис. 24.12, а, в вершине М сходятся четыре грани, чего не может быть в правильной четырехугольной пирамиде; а в фигуре, изображенной на рис. 24.12, б, боковые ребра А В и ВС не равны.

Вообще, развертку многогранника можно получить путем раз­резания его поверхности не только по ребрам. Пример такой раз­вертки куба приведен на рис. 24.13. Поэтому более точно развертку многогранника можно определить как плоский многоугольник, из которого может быть сделана поверхность этого многогранника без перекрытий.

Тела вращения

Телом вращения называют тело, полученное в результате вра­щения некоторой фигуры (обычно плоской) вокруг прямой. Эту прямую называют осью вращения.

Цилиндр - эго тело, которое получается в результате вращения прямоугольника вокруг одной из его сторон. При этом указанная сто­рона является осью цилиндра. На рис. 24.14 изображен цилиндр с осью ОО’, полученный в результате вращения прямоугольника АА"О"О вокруг прямой ОО". Точки О и О" - центры оснований цилиндра.

Цилиндр, который получается в результате вращения прямо­угольника вокруг одной из его сторон, называют прямым круго­вым цилиндром, так как его основаниями являются два равных круга, расположенных в параллельных плоскостях так, что отре­зок, соединяющий центры кругов, перпендикулярен этим плос­костям. Боковую поверхность цилиндра образуют отрезки, равные стороне прямоугольника, параллельной оси цилиндра.

Разверткой боковой поверхности пря­мого кругового цилиндра, если ее раз­резать по образующей, является прямо­угольник, одна сторона которого равна длине образующей, а другая - длине ок­ружности основания.

Конус - это тело, которое получает­ся в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов.

При этом указанный катет неподвижен и называется осью конуса. На рис. 24.15 изображен конус с осью SO, получен­ный в результате вращения прямоуголь­ного треугольника SOA с прямым уг­лом О вокруг катета S0. Точку S называют вершиной конуса, ОА - радиусом его основания.

Конус, который получается в результате вращения прямоуголь­ного треугольника вокруг одного из его катетов, называют пря­мым круговым конусом, гак как его основанием является круг, а вершина проектируется в центр этого круга. Боковую поверхность конуса образуют отрезки, равные гипотенузе треугольника, при вращении которого образуется конус.

Если боковую поверхность конуса разрезать по образующей, то ее можно «развернуть» на плоскость. Разверткой боковой поверх­ности прямого кругового конуса является круговой сектор с ради­усом, равным длине образующей.

При пересечении цилиндра, конуса или любого другого тела вращения плоскостью, содержагцей ось вращения, получается осевое сечение. Осевое сечение цилиндра - прямоугольник, осевое сече­ние конуса - равнобедренный треугольник.

Шар - это тело, которое получается в результате вращения полукруг а вокруг его диаметра. На рис. 24.16 изображен шар, получен­ный в результате вращения полукруга вокруг диаметра АА". Точку О называют центром шара, а радиус круга является радиусом шара.

Поверхность шара называют сферой. Сферу развернуть на плос­кость нельзя.

Любое сечение шара плоскостью есть круг. Радиус сечения шара будет наибольшим, если плоскость проходит через центр шара. Поэтому сечение шара плоскостью, проходящей через центр шара, называют большим кругом шара, а окружность, его ограничиваю­щая, - большой окружностью.

ИЗОБРАЖЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ НА ПЛОСКОСТИ

В отличие от плоских фигур геометрические тела невозможно точно изобразить, например, на листе бумаги. Однако с помощью чертежей на плоскости можно получить достаточно наглядное изоб­ражение пространственных фигур. Для этого используются специ­альные способы изображения таких фигур на плоскости. Одним из них является параллельное проектирование.

Пусть даны плоскость а и пересекающая се прямая а. Возьмем в пространстве произвольную точку Л", не принадлежащую пря­мой а, и проведем через X прямую а", параллельную прямой а (рис. 24.17). Прямая а" пересекает плоскость в некоторой точке X", которая называется параллельной проекцией точки X на плос­кость а.

Если точка А"лежит на прямой а, то се параллельной проекци­ей X" является точка, в которой прямая а пересекает плоскость а.

Если точка X принадлежит плоскости а, то точка X" совпадает с точкой X.

Таким образом, если заданы плоскость а и пересекающая ее прямая а. то каждой точке X пространства можно поставить в соот­ветствие единственную точку А" - параллельную проекцию точки X на плоскость а (при проектировании параллельно прямой а). Плос­кость а называется плоскостью проекций. О прямой а говорят, что она залает направление проектирования - ггри замене прямой а любой другой параллельной ей прямой результат проектирования не изменится. Все прямые, параллельные прямой а, задаюз одно и то же направ­ление проектирования и называются вместе с прямой а проектирующими прямыми.

Проекцией фигуры F называют мно­жество F‘ проекцией всех се точек. Ото­бражение, сопоставляющее каждой точ­ке X фигуры F "ее параллельную проек­цию - точку X" фигуры F", называется параллельным проектированием фигуры F (рис. 24.18).

Параллельной проекцией реального предмета является его тень, падающая на плоскую поверхность при солнечном освещении, поскольку солнечные лучи можно считать параллельными.

Параллельное проектирование обладает рядом свойств, знание которых необходимо при изображении геометрических тел на плоскости. Сформулируем основные, не приводя их доказательства.

Теорема 24.1. При параллельном проектировании для прямых, не параллельных направлению проектирования, и для лежащих на них отрезков выполняются следующие свойства:

1) проекция прямой есть прямая, а проекция отрезка - отрезок;

2) проекции параллельных прямых параллельны или совпадают;

3) отношение длин проекций отрезков, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых, равно отношению длин самих отрезков.

Из этой теоремы вытекает следствие: при параллельном про­ектировании середина отрезка проектируется в середину его про­екции.

При изображении геометрических тел на плоскости необходи­мо следить за выполнением указанных свойств. В остальном оно может быть произвольным. Так, углы и отношения длин непарал­лельных отрезков могут изменяться произвольно, т.е., например, треугольник при параллельном проектировании изображается про­извольным треугольником. Но если треугольник равносторонний, то па проекции его медианы должны соединять вершину треуголь­ника с серединой противоположной стороны.

И еще одно требование необходимо соблюдать при изображе­нии пространственных тел на плоскости - способствовать созда­нию верного представления о них.

Изобразим, например, наклонную призму, основаниями кото­рой являются квадраты.

Построим сначала нижнее основание призмы (можно начинать и с верхнего). По правилам параллельного проектирования огго изобразится произвольным параллелограммом АВСD (рис. 24.19, а). Так как ребра призмы параллельны, строим параллельные пря­мые, проходящие через вершины построенного параллелограмма и откладываем на них равные отрезки АА", ВВ’, СС", DD", длина которых произвольна. Соединив последовательно точки А", В", С", D", получим четырехугольник А"В"С"D", изображающий верхнее основание призмы. Нетрудно доказать, что А"В"С"D" - паралле­лограмм, равный параллелограмму АВСD и, следовательно, мы имеем изображение призмы, основаниями которой являются рав­ные квадраты, а остальные грани - параллелограммы.

Если нужно изобразить прямую призму, основаниями которой являются квадраты, то показать, что боковые ребра этой призмы перпендикулярны основанию, можно так, как это сделано на рис. 24.19, б.

Кроме тог о, чертеж на рис. 24.19, б можно считать изображени­ем правильной призмы, так как ее основанием является квадрат - правильный четырехугольник, а также - прямоугольным парал­лелепипедом, поскольку все его грани - прямоугольники.

Выясним теперь, как изобразить на плоскости пирамиду.

Чтобы изобразить правильную пирамиду, сначала чертят пра­вильный многоугольник, лежащий в основании, и его центр - точку О. Затем проводят вертикальный отрезок OS, изображаю­щий высоту пирамиды. Заметим, что вертикальность отрезка OS обеспечивает большую наглядность рисунка. И наконец, точку S соединяют со всеми вершинами основания.

Изобразим, например, правильную пирамиду, основанием ко­торой является правильный шестиугольник.

Чтобы верно изобразить при параллельном проектировании правильный шестиугольник, надо обратить внимание на следующее. Пусть АВСDЕF - правильный шестиугольник. Тогда ВСЕF - прямоугольник (рис. 24.20) и, значит, при параллельном проектировании он изобра­зится произвольным параллелограммом В"С"Е"F". Так как диагональ АD проходит через точку О - центр многоугольника АВСDЕF и параллельна отрезкам. ВС и ЕF и АО= ОD, то при параллельном проектировании она изобразится произвольным от­резком А"D", проходящим через точку О" параллельно В"С" и Е"F" и, кроме того, А"О" = О"D".

Таким образом, последовательность построения основания ше­стиугольной пирамиды такова (рис. 24.21):

§ изображают произвольный параллелограмм В"С"Е"F" и его диагонали; отмечают точку их пересечения O";

§ через точку О" проводят прямую, параллельную В’С" (или Е"F’);

§ на построенной прямой выбирают произвольную точку А" и отмечают точку D" такую, что О"D" = А"О", и соединяют точку А" с точками В" и F ", а точку D" - с точками С" и Е".

Чтобы завершить построение пирамиды, проводят вертикаль­ный отрезок ОS (его длина выбирается произвольно) и соединя­ют точку S со всеми вершинами основания.

При параллельном проектировании шар изображается в виде круга того же радиуса. Чтобы сделать изображение шара более на­глядным, рисуют проекцию какой-нибудь большой окружности, плоскость которой не перпендикулярна плоскости проекции. Эта проекция будет эллипсом. Центр шара изобразится центром этого эллипса (рис. 24.22). Теперь можно найти соответствующие полюсы N и S при условии, что отрезок, их соединяющий, перпендикуля­рен плоскости экватора. Для этого через точку О проводим пря­мую, перпендикулярную АВ и отмечаем точку С - пересечение этой прямой с эллипсом; затем через точку С проводим касатель­ную к эллипсу, изображающему экватор. Доказано, что расстоя­ние СМ равно расстоянию от центра шара до каждого из полюсов. Поэтому, отложив отрезки ОN и OS, равные СМ, получим полю­сы N и S.

Рассмотрим один из приемов построения эллипса (он основан на преобразовании плоскости, которое называется сжатием): строят окружность с диаметром и проводят хорды, перпендикулярные диаметру (рис. 24.23). Половину каждой из хорд делят пополам и полученные точки соединяют плавной кривой. Эта кривая - эл­липс, большой осью которого является отрезок АВ, а центром - точка О.

Этот прием мЬжно использовать, изображая на плоскости пря­мой круговой цилиндр (рис. 24.24) и прямой круговой конус (рис. 24.25).

Прямой круговой конус изображают так. Сначала строят эл­липс - основание, затем находят центр основания - точку О и перпендикулярно проводят отрезок OS, который изображает вы­соту конуса. Из точки S проводят к эллипсу касательные (это дела­ют «на глаз», прикладывая линейку) и выделяют отрезки SС и SD этих прямых от точки S до точек касания С и D. Заметим, что отрезок СD не совпадает с диаметром основания конуса.

Многогранником называется тело, ограниченное со всех сторон плоскостями. Элементы многогранника: грани, рёбра, вершины. Совокупность всех рёбер многогранника называется его сеткой. Многогранник называется выпуклым, если весь он лежит по одну сторону от плоскости любой его грани; при этом его грани являются выпуклыми многоугольниками. Для выпуклых многогранников Леонардом Эйлером предложена формула:

Г+В-Р=2, где Г-число граней; В – число вершин; Р – число рёбер.

Среди множества выпуклых многогранников наибольший интерес представляют правильные многогранники (тела Платона), пирамиды и призмы. Многогранник называется правильным, если все его грани являются равными правильными многоугольниками. К ним относятся (рис. 26): а - тетраэдр; б - гексаэдр (куб); в - октаэдр; г - додекаэдр; д - икосаэдр.

а) б) в) г) д)

Рис. 26

Параметры правильных многогранников (рис. 26)

Из таблицы видно, что число граней и вершин у куба и октаэдра соответственно составляет 6, 8 и 8, 6. Это позволяет вписывать (описывать) их в друг друга до бесконечности (рис. 27).

Большую группу составляют, так называемые, полуправильные многогранники (тела Архимеда). Это выпуклые многогранники, у которых грани являются правильными многоугольниками разных типов. Тела Архимеда это усечённые тела Платона. Внешний вид некоторых из них представлены на рис. 28, а ниже их параметры в таблице.

а) б) в) г)

Рис. 27 Рис. 28

Параметры полуправильных многогранников (рис. 28)

Многогранник может занимать общее положение в пространстве, или же его элементы могут быть параллельными и (или) перпендикулярными к плоскостям проекций. Исходными данными для построения многогранника в первом случае служат координаты вершин, во втором ─ его размеры. Построение проекций многогранника сводится к построению проекций его сетки. Наружный очерк проекции многогранника называют контуром тела.

Призма

─ выпуклый многогранник, боковые рёбра которого параллельны между собой. Нижняя и верхняя грани ─ равные многоугольники, определяющие количество боковых рёбер, называются основаниями призмы. Призма называется правильной, если в основании правильный многоугольник, и прямой, если боковые рёбра перпендикулярны к основанию. В противном случае призма наклонная. Боковые грани прямой призмы прямоугольники, а наклонной ─ параллелограммы. Боковая поверхность прямой призмы относится к проецирующим объектам и вырождается в многоугольник на перпендикулярную боковым рёбрам плоскость проекций. Проекции точек и линий, расположенных на боковой поверхности призмы, совпадают с её вырожденной проекцией.

Типовая задача 3 (рис. 29): Построить комплексный чертёж прямой призмы с размерами: l- сторона основания (длина призмы); b- высота равнобедренного треугольника основания (ширина призмы); h- высота призмы. Определить положение рёбер и граней относительно плоскостей проекций. На гранях ABB’A’ и ACC’A’ задать фронтальные проекции соответственно точки M и прямой n и построить их недостающие проекции.

1. Мысленно располагаем многогранник в системе плоскостей проекций так, чтобы его основание D ABC║P 1 ;а ребро АС║P 3 (рис. 29, а).

2. Мысленно вводим базовые плоскости: S║P 1 и совпадающую с основанием (D ABC); D║P 2 и совпадающую с задней гранью АСС’А’. Строим базовые линии S 2 , S 3 , D 1 , D 3 (рис. 29, б).

3. Строим горизонтальную, затем фронтальную и, наконец, профильную проекции призмы, используя базовые линии D 1 , D 3 (рис. 29, в).

Рёбра: АВ, ВС ─ горизонтали; АС ─ профильно-проецирующая; AS, SC, SB ─ горизонтально-проецирующие. Грани: ABC A"B’C’ ─ горизонтальные уровня; ABВ’А’, BCС’В’ ─ горизонтально-проецирующие; ACC"А’ ─фронтальная уровня..

5. Построение горизонтальных проекций точек, лежащих на боковых гранях призмы, выполняем с использованием собирательного свойства проецирующего объекта: все проекции точек и линий, расположенных на боковой поверхности призмы, совпадают с её вырожденной (горизонтальной) проекцией. Профильные проекции точек (например М) строим откладывая по горизонтальным линиям связи их глубины (Y M) от D 3 , которые измеряются на горизонтальной проекции от D 1 (см. также с. 8, 17). На прямой n задаём точки 1, 2 и строим эти точки на поверхности призмы, аналогично точке М. Определяем видимость методом конкурирующих точек. Выполнение задания "Призма с вырезом" см. в .

а) б) в)

Рис. 29

Пирамида

многогранник, одной из граней которого является многоугольник (основание пирамиды), определяющий число боковых граней, а остальные грани (боковые) ─ треугольники с общей вершиной, называемой вершиной пирамиды. Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми рёбрами. Перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость её основания, называется высотой пирамиды. Пирамида правильная, если в основании правильный многоугольник и прямая, если вершина проецируется в центр основания. Боковые рёбра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равнобедренными треугольниками. Высота боковой грани правильной пирамиды называется апофемой. Если вершина пирамиды проецируется вне её основания, - то пирамида наклонная.

Типовая задача 4 (рис. 30-32): Построить комплексный чертёж прямой правильной пирамиды с размерами: l- сторона основания (длина); b- высота треугольника основания (ширина); h- высота пирамиды. Определить положение рёбер и граней относительно плоскостей проекций. Задать фронтальную и горизонтальные проекции точек M и N принадлежащих соответственно граням ASB и ASC и построить их недостающие проекции.

1. Мысленно располагаем многогранник в системе плоскостей проекций так, чтобы его основание D ABC║P 1 ;а ребро АС║P 3 (рис. 31).

2. Мысленно вводим базовые плоскости: S║P 1 и совпадающую с основанием (D ABC);

D║P 2 и совпадающую с ребром АС. Строим базовые линии S 2 , S 3 , D 1 , D 3 (рис. 32) .

3. Строим горизонтальную, затем фронтальную и, наконец,

профильную проекции пирамиды (см. рис. 32).

4. Анализируем положение рёбер и граней на комплексном чертеже пирамиды, учитывая исходные данные и классификаторы положения прямых и плоскостей (с. 11,14).

Рёбра: АВ, ВС ─ горизонтали; АС ─ профильно-проецирующая; AS, SC ─ общего положения; SB ─ профильная уровня. Грани: ASB, BSC ─ общего положения; ABC ─горизонтальная уровня; ASC ─ профильно-проецирующая.

5. Построение недостающих проекций точек, лежащих на гранях пирамиды, выполняем с использованием признака «принадлежности точек плоскости». В качестве вспомогательных прямых используем горизонтали или произвольные прямые. Профильные проекции точек строим откладывая по горизонтальным линиям связи глубины точек (в направлении оси Y), которые измеряются на горизонтальной проекции (см с. 8, 17).

Рис. 30 Рис. 31 Рис. 32

МКОУ «3наменская средняя общеобразовательная школа» Щигровского р-на Курской области

Урок - экскурсия

«Многогранники. Тела вращения»

(урок геометрии в 11 классе)

Подготовила: учитель математики Букреева Т. А.

ТЕМА УРОКА: Повторение по теме «Многогранники. Тела вращения».

Цель урока: 1. Повторить изученное.и обобщить знания учащихся.

2. Развитие познавательного интереса учащихся к предмету, расширение кругозора, межпредметных связей.

З. Воспитание познавательной активности учащихся.

План урока:

1. Вступительное слово учителя.

2. Экскурсия «Мир многогранников».

З. Экспериментальные опыты.

4. Практическая работа.

5. Решение задач.

7. Итог урока.

Оборудование: Модели многогранников, тел вращения, картина художника Шишкина «Корабельная роща», картина Сальвадора Дали «Тайная вечерня», таблицы с формулами, рисунки с изображениями многогранников, портреты ученых, сосуды с водой для проведения опытов, измерительные сосуды, компьютер, проектор.

Ход урока:

1 . Вступительное слово учителя

Ребята, сегодня мы проводим очередной урок повторения курса геометрии, который пройдет в необычной форме. Тема урока повторения «Многогранники. Тела вращения» Мы уже повторяли с вами основные понятия, касающиеся данной темы, решали задачи на применение различных формул. Но я думаю, что на сегодняшнем уроке вы узнаете еще немало интересных фактов, (рассказать план урока). А сейчас давайте немного вспомним.

Что называется многогранником?

Приведите примеры многогранников?

Что называется телом вращения?

Приведите примеры тел вращения.

Что является основными элементами любого многогранника? (вершины, ребра, грани).

Каким общим характерным свойством обладают все выпуклые многогранники?

(Сумма числа вершин и числа граней каждого многогранника на два больше числа его ребер, т.е. В+Г – Р = 2). Это предложение известно, как «теорема Эйлера».

Ребята, а сейчас я предлагаю вам совершить небольшую экскурсию в «Мир многогранников и тел вращения». А помогут нам в этом группа экскурсоводов. Пожалуйста, ребята. Вам слово.

"ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА" о многогранниках

В+Г-Р=2

2. Экскурсия.

1 экскурсовод . Всем хорошо известны такие тела как пирамида, конус, призма, цилиндр, шар и другие. А задумывались ли вы над тем, откуда произошло название этих фигур. Посмотрите, пожалуйста, на картину известного художника Шишкина «Корабельная роща», на которой изображены сосны. А сейчас обратите внимание на следующий рисунок (слайд №2). Здесь вы видите изображение конуса. А в руках у меня модель конуса. Вы скажите, а какая же связь между этой картиной и данным телом. Оказывается, самая непосредственная. На картине изображены сосны, а модель, которую я держу, называется конус, что в переводе с греческого языка означает «сосновая шишка». И, действительно, посмотрите, конус похож на шишку. эту «шишку» по-гречески называют «конос». Поэтому и тела такой формы получили название конуса.

А вообще, до Фалеса в Греции геометрией никто не занимался, поэтому у геометрических фигур не было названий. Греки стали называть фигуры словами, обозначавшими окружающие их предметы похожей формы. Например, для прокатки белья женщины применяли скалку, которую по-гречески называли «каландер», что в переводе означает «цилиндр». Поэтому все вытянутые тела с округлым сечением получили название цилиндра. Тело, изображенное на следующем рисунке, напоминает нам египетские пирамиды, поэтому такие тела и назвали пирамидами.

При этом в Египте основания пирамид были четырехугольные, а греки изучали и четырехугольные, и даже шестиугольные пирамиды.

А откуда получила свое имя «сфера?». По-гречески так называли мяч, в который играли дети (слайд №3).

2 экскурсовод. А сейчас обратите внимание на следующую группу многогранников (слайд №4): тетраэдр, куб, икосаэдр, октаэдр, додекаэдр. Как вы знаете, это правильные многогранники, которые также были известны ещё в Древней Греции и им посвящена 13 книга знаменитых «Начал» Евклида.

Учение о правильных многогранниках является венцом его «Начал». Сна­чала Евклид устанавливает существование этих многогранников, а затем до­казывает. В 18 последнем предложении 13 книги, что кроме упомянутых пяти тел, кет других правильных многогранников.

Но, оказывается, правильными многогранниками занимался и Архимед (слайд №5), однако его работы до нас не дошли. Архимеду принадлежит открытие 13 так называемых полуправильных многогранников, (архимедовых тел), каждый из которых ограничен не одноименными правильными многоугольниками и в котором равны многогранные углы и одноименные многоугольники, причем в каждой вершине сходится одно и тоже число одинаковых граней в одинаковом порядке. Число граней этих тел содержится между 8 и 92.

Древние греки специально изучали правильные многогранники, так как считали что формы этих тел присущи элементам первооснов бытия (слайд №6): а именно, огню – тетраэдр, земле – гексаэдр (куб), воздуху – октаэдр, воде – икосаэдр или говорили еще так; что эти четыре многогранника олицетворяли четыре стихии: огонь, землю, воду и воздух, А форму пятого многогранника, по мнению древних, имела вся Вселенная, то есть додекаэдр символизировал все мироздание.

И не зря, на репродукции картины Сальвадора Даля «Тайная вечерня» Христос со своими учениками изображены сидящими на фоне огромного прозрачного додекаэдра (слайд№7).

Заметили и то, что многие формы многогранников придумал не сам человек, их создала природа в виде кристаллов. Кристаллы – природные многогранники. Например, горный хрусталь или кварц. Напоминает отточенный с двух сторон карандаш, т.е форму шестиугольной призмы, на основание которой поставлены шестиугольные пирамиды. Исландский шпат – имеет форму косого параллелепипеда.

Пирит (или сернистый колчедан) чаще всего встречается в виде октаэдра, иногда куба или даже усеченного октаэдра.

В начале прошлого столетия французский математик и механик Л. Пуансо (1777-1859) (слайд №8), геометрические работы которого относятся к «звездчатым многогранникам» открыл существование правильных невыпуклых многогранников. Стали известны 4 типа таких фигур. В 1812г. О. Коши доказал, что других правильных звездчатых многогранников не существует (слайд №9).

3 экскурсовод . А сейчас поговорим о формулах и об ученных, благодаря которым они появились. Мы изучили множество формул для вычисления объемов многогранников и круговых тел, для вычисления площадей их поверхностей. Но задумывались ли вы когда-нибудь над таким вопросом, а как давно появились эти формулы и кто первым их открыл? Оказывается, еще давно до нашей эры формулы объемов многих тел (параллелепипеда, призмы, цилиндра) были известны.

Позднее, благодаря трудам древнегреческих ученых Демокрита, Евдокса и Архимеда были открыты формулы для вычисления объемов пирамид, конуса, шара и других тел. Невозможно рассказать о вкладах каждого ученого, но нельзя не остановиться на одном из них – ученом и изобретателе Архимеде, который решил множество практических задач по математике и физике. За всю свою жизнь Архимед сделал так много, что обо всем не расскажешь. Он впервые решил много трудных задач по геометрии: нашел правила вычисления площадей и объемов различных тел. Среди всех задач была и такая «Найти отношение объёма шара, вставленного (вписанного) в цилиндр, к объему цилиндра».

Архимед определил, что объем вписанного цилиндра равен 2/3 объема цилиндра, а поверхность шара равна 2/3 поверхности цилиндра. Этому предложению Архимед придавал исключительное значение. Предание гласит, что Архимед высказал своим друзьям пожелание, чтобы после его смерти на его могильном холме вырезали чертеж к этой задаче, И еще об одном интересном факте я хочу рассказать. Архимед жил в небольшом городе Сиракузы, на острове Сицилия. Когда ему было около 70-ти лет, в 212 году до начала нашего летосчисления, его родной город осадили войска могущественного Рима и потребовали сдачи. Сиракузцы решили защищаться. Одним из руководителей обороны стал Архимед, под чьим руководством Сиракузцы почти год отбивались от многочисленных римских войск. Пользуясь своими знаниями о геометрии, Архимед, как говорят предания, построил громадные зеркала и с их помощью сжег римские корабли, а римские воины, увидев из-за крепостной стены веревку или бревно, с ужасом обращались в бегство с криком, что вот Архимед ещё выдумал новую машину на их погибель. Но римляне все - таки ворвались в город и перебили почти всех жителей. Среди погибших был Архимед. Предания говорят, что когда римский солдат уже замахнулся на Архимеда мечом, ученый крикнул «Не трогай мои чертежи». Желание Архимеда сбылось. На надгробном камне могилы Архимеда в Сиракузах изображен цилиндр с вписанным в него шаром (слайд №10). Именно по этому чертежу 200 лет спустя нашли могилу ученого. Это символ открытия формул объема шара и площади сферы. Памяти Архимеда посвящено множество стихотворений. Послушайте одно из них. (Стихотворение).

ПАМЯТИ АРХИМЕДА

Далеко от нашего Союза

И до нас за очень много лет

В трудный год родные Сиракузы

Защищал ученый Архимед.

Многие орудья обороны

Были сконструированы им,

Долго бился город непреклонный,

Мудростью ученого храним.

Но законы воинского счастья

До сих пор никем не учтены,

И втекают вражеские части

В темные пробоины стены.

Замыслом неведомым охвачен,

Он не знал, что в городе враги,

И в раздумье на земле горячей

Выводил какие-то круги.

Он чертил задумчивый, не гордый,

Позабыв текущие дела, ­

И внезапно непонятной хордой

Тень копья чертеж пересекла.

Но убийц спокойствием пугая,

Он, не унижаясь, не дрожа,

Руку протянул, оберегая

Не себя, а знаки чертежа.

Он в глаза солдатом глянул смело:

«Убивайте, римляне - враги!

Убивайте, раз такое дело,

Но не наступайте на круги!

Я хотел бы так пером трудиться,

Родине, отдав себя вполне,

Чтоб на поле боя иль в больнице

За себя не страшно было мне.

Чтобы у меня хватило духа

Вымолвить погибели своей:

«Лично - убивай меня, старуха,

Но на строчки наступать не смей!»

3. Эксперементальные опыты

Учитель: Ребята, я думаю, мы совершили благодаря экскурсоводам, интересную историю в далекое прошлое. Если кого-то заинтересовала биография Архимеда, более подробно вы сможете прочитать на страницах стенгазеты «Математика и жизнь» обратиться к литературе, которая имеется в библиотеке. (Выставка).

А сейчас давайте с вами посетим лабораторию, где группа исследователей занималась экспериментальным доказательством некоторых формул, связанных с многогранниками и телами вращения. Пожалуйста, ребята, вам слово.

1 ученик. В результате проделанной нами исследовательской pa6oты, мы смогли с помощью опытов доказать справедливость некоторых формул. Сейчас мы вам продемонстрируем это.

Опыт №1. (объем пирамиды)

С помощью этого опыта убедимся в том, что объем пирамиды равен 1/3 объема призмы. Для этого возьмем два сосуда: один – имеющий форму призмы, другой – пирамиды. Пирамида и призма имеют равные высоты (h) проведенные к основанию, и равные площади оснований. Сосуд – пирамиду наполнили водой, затем перельем воду из сосуда – пирамиды в сосуд – призму. Видим, что емкость сосуда – пирамиды в три раза меньше емкости сосуда-призмы, т. е V пир = 1/3V пр.

Итак, убедились, что объем пирамиды равен 1/3 объема призмы.

Опыт №2 . (Свойство пирамид, имеющих равновеликие основания и равные высоты)

Мы знаем такое утверждение, что две (треугольные) пирамиды с равными площадями оснований и равными высотами равновелики, т.е. имеют равные объемы.

Убедимся в этом с помощью следующего опыта.

Опыт.

В сосуд, имеющий узкую отводную трубку, нальем воды так, чтобы избыток её вытек через отверстие. Подставив под отверстие измерительный стакан, в сосуд погружаем одну из пирамид. Узнав при помощи измерительного стакана, объем воды, вытесненной пирамидой, одновременно узнаем и объем самой пирамиды. Проделав опыт с другой пирамидой, видим, что если пирамиды имеют равновеликие основания и равные высоты, то их объемы равны.

1 пирамида – четырехугольная, в основании которой квадрат со стороной 4 см, т.е. площадь основания равна 16 см.

2 пирамида – четырехугольная, в основании прямоугольник со сторонами 2 и 8 см.

(объем тела, погруженного в жидкость, равен объему вытесненной телом жидкости).

Опыт №3 . (площадь поверхности сферы)

Невозможно найти площадь поверхности сферы таким же образом, как находят площадь поверхности многогранника, т.е. с помощью её развертки в плоскость, поскольку никакую сферу нельзя развернуть в плоскость. Но можно использовать следующий опыт.

Возьмем модель полу-шара и закрепим в него два гвоздя: один в центре большого круга, другой - в вершине полу-шара. Прикрепим конец нити к гвоздику, находящемуся в вершине полу-шара и покроем нитью поверхность полу-шара, складывая её спиралью. Затем также покроем основание полу-шара – большой круг. Измерив длины использованных нитей, видим, что длина нити, затраченной на покрытии основания, т. е круга радиусом, приблизительно в 2 раза меньше длины нити, покрывающей поверхности полу-шара.

Отсюда вывод: площадь поверхности полу-шара равна 2, а площадь по­верхности шара 4. Итак, площадь сферы вычисляется по формуле S = 4πR 2 .

Учитель: Описанный опыт – один из древнейших. С его помощью люди узнали, что площадь поверхности шара в 4 раза больше площади его большого круга.

Вывод: Опытное обоснование теоретических фактов рассматривается как средство осуществления связи преподавания геометрии с практикой.

4. Практическая работа.

А сейчас я вам предлагаю небольшую практическую работу.

Задание. У вас на столах находятся различные геометрические тела. Выберите себе любую фигуру, выполните необходимые измерения и вычислите объем данного тела, используя соответствующую формулу. (Рассказать, как вычисляли объем).

5.Решение задач из занимательной геометрии.

Задачи вам предложит следующая группа ребят. (слайд №11)

Задача №1

Две правильные призмы поспорили о том,

В какой из них побольше содержится объем.

Одна сказала: «Если все факторы учесть,-

Ведь я в два раза выше и граней целых шесть,-

То нечего и спорить, победа тут за мной...»

Другая отвечала: «Не торопись, постой!

Хоть граней пять имею и ростом не крупна,

Но в основание больше в 2 раза сторона».

До вечера поспорив, ни с чем домой ушли.

Кто прав был в этом споре А ну, определи?

(Решение задачи №1)

Вывод: Чтобы сравнить, нужно найти объемы.

Задача №2

Футбольный мяч напоминает многогранник с 32 гранями, 20 из которых – правильные шестиугольники, а 12 – правильные пятиугольники. Сколько вершин у такого многогранника? (слайд №12)

Решение. В задаче речь идет об усеченном икосаэдре. Найдем общее число ребер этого многогранника. Так как он имеет 12 пятиугольных граней, то 5 12+620=180, т. е 2Р = 180, Р = 90. А по условию Г = 32, то по теореме Эйлера

В+Г - Р =2, т.е. В = Р - Г +2 = 90 - 32 +2=60

Теорема Эйлера : Сумма числа вершин и числа граней многогранника на 2 больше числа его ребер, т.е. В + Г - Р = 2

Утверждение: Число сторон всех граней равно удвоенному числу ребер,

т. к. каждое ребро принадлежит сразу двум граням, следовательно, при подсчете учитывается дважды. (слайд №13)

Задача №3

Имеется куча зерна пшеницы, которую нужно отправить на склад. Оцените объем зерна в куче. Как это сделать? (слайд №14)

Решение. По своей форме куча зерна заметно отличается от известных про­странственных фигур, но отдаленно она напоминает круговой конус.

Объем конуса V = 1/3·S·h. Даже приняв, что куча зерна имеет форму конуса, нам сложно непосредственно измерить R и Н. Можно считать, что основанием конуса - модели служит круг, окружность которого имеет такую же длину, как периметр основания кучи. Эту длину можно измерить непосредственно шнуром. Если она равна С, то R=C/2π. Высоту Н тоже неудобно замерить непосредственно, но легко с помощью шнура найти « перекидку». Р = А·В, тогда

Задача №4

А сейчас предлагаю вам послушать одну из тех немногих легенд, в которых при кажущемся правдоподобии нет и зерна правды. Если бы какой-нибудь древний деспот вздумал осуществить такого рода затею, о которой я сейчас расскажу, он был бы обескуражен лицемерию результата. (слайд №15)

Итак, в поэме АС Пушкина «Скупой рыцарь» рассказана легенда восточных народов.

Читал я где-то,

Что царь однажды воинам своим

Велел снести земли по горсти в кучу,-

И гордый холм возвысился.

И царь мог с высоты с весельем озирать.

И дол, покрытый белыми шатрами,

И море, где бежали корабли.

Какой высоты мог быть такой холм? Ответив на этот вопрос, вы убедитесь в мизерности результата.

Решение. 1 горсть = 1/5л = 0,2 дм 3

Пусть войско из 100000 человек. Угол может быть только 45°(и меньше) иначе земля будет осыпаться. Нужно обладать богатым воображением, чтобы земляную кучу в полтора человеческих роста назвать гордым холмом.

6 Тест.

Учащиеся получают индивидуальные пакеты с тестами, которые начинают выполнять в классе, дома заканчивают.

7 Итог урока.

Чтобы посмотреть презентацию с картинками, оформлением и слайдами, скачайте ее файл и откройте в PowerPoint на своем компьютере.
Текстовое содержимое слайдов презентации: Многогранники и тела вращенияПонарьина Евгения ВалентиновнаМБОУ СОШ №432016 годг.Воронеж МногогранникиТело, которое ограничено плоскими многоугольниками, называется многогранником. Многоугольники, образующие поверхность многогранника, называются гранями. Стороны этих многоугольников - рёбра многогранников. Вершины многоугольников - вершины многогранников. Многогранники МногогранникиПризмаПараллелепипедПирамида Элементы многогранниковГрани:АBСD, АА1В1В, АА1D1D,СС1В1В, СС1D1D, А1В1С1D1Ребра:АB, ВС, СD, DA, АА1, ВВ1, СС1 , DD1, А1В1 , В1С1, С1D1 , D1A1 Вершины:А, B, С, D, А1, В1, С1, D1 ПризмаОпр: Призмой называется многогранник, состоящий из двух равных многоугольников, расположенных в параллельных плоскостях и n параллелограммов.Многоугольники – основания призмыПараллелограммы – грани призмыПараллельные отрезки, соединяющие вершины многоугольников – боковые ребра призмы ПризмаПрямая призмаНаклонная призмаПравильная призмаОпр: Призма называется прямой, если ее боковые ребра перпендикулярны основаниямОпр: Призма называется наклонной, если ее боковые ребра неперпендикулярны основаниям и наклонены к ним под некоторым углом.Опр: Призма называется правильной, если она прямая и в основании у нее лежит правильный многоугольник ПараллелепипедОпр: Параллелепипедом называется призма, в основании которой лежит параллелограмм ПараллелепипедПрямойпараллелепипедПрямоугольный параллелепипедКубОпр: Параллелепипед называется прямым, если его ребра перпендикулярны основаниям.Опр: Прямоугольным параллелепипедом называется прямой параллелепипед, в основании которого – прямоугольник.Опр: Кубом называется прямоугольный параллелепипед, все ребра которого равны. ПирамидаОпр: n- угольной пирамидой называется многогранник, одна грань которого произвольный n-угольник, а остальные грани – треугольники, имеющие общую вершину.Многоугольник А1А2…Аn – называется основанием.Точка S – вершина пирамиды.Отрезки SA1, SA2 … SAn – боковые ребра пирамиды.ΔA1SA2 … ΔAn-1SAn – боковые грани пирамиды. Правильная пирамидаОпр: Пирамида называется правильной, если ее основание правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину с центром основания является ее высотой. (SO – высота)Опр: Высотой пирамиды называется отрезок перпендикуляра, проведенного из вершины пирамиды к плоскости основания, а так же длина этого отрезка.Опр: Центром правильного многоугольника называется центр вписанной в нее или описанной около нее окружности.Опр: Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины называется апофемой этой пирамиды.h - апофема ЗаданиеНекоторые из фигур на картинке являются многогранниками, а некоторые - нет. Под какими номерами изображены многогранники? ЗаданиеНекоторые из многогранников на рисунке являются пирамидами, а некоторые - нет. Под какими номерами изображены пирамиды? Тела вращенияТело вращения- это фигура, полученная вращением плоского многоугольника вокруг оси. Тела вращенияЦилиндрКонусШар, сфера ЦилиндрОпр: Прямым круговым цилиндром называется фигура, образованная двумя равными кругами, плоскости которых перпендикулярны прямой, проходящей через их центры, а также всеми отрезками, параллельными этой прямой, с концами на окружностях данных кругов. Элементы цилиндраОпр: Два круга, образующие цилиндр называются основаниями. Опр: Радиус основания цилиндра называется радиусом этого цилиндра.Опр: Прямая, проходящая через центры оснований цилиндра, называется его осью.Опр: Отрезок, соединяющий центры оснований, а также длина этого отрезка, называются высотой цилиндра.Опр: Отрезок, параллельный оси цилиндра, с концами на окружностях его оснований называется образующей данного цилиндра. Сечения цилиндра КонусОпр: Рассмотрим окружность L с центром O и отрезок OP, перпендикулярный к плоскости этой окружности. Каждую точку окружности соединим отрезком с точкой P.Поверхность, образованная этими отрезками, называется конической поверхностью, а сами отрезки – образующими этой поверхности.Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L, называется конусом.Конус получен вращением прямоугольного треугольника АВС вокруг катета АВ КонусОпр: Коническая поверхность называется боковой поверхностью, а круг – основанием конуса. Отрезок OP называется высотой, прямая OP – ось конуса. Точка Р называется вершиной конуса.Образующие конической поверхности называются также образующими конуса, радиус окружности R называется радиусом конуса. Сечения конусаСечение конуса плоскостью α, перпендикулярной к его оси Осевое сечение конуса – равнобедренный треугольник СфераОпр: Сферой называется множество точек пространства, равноудаленных от заданной точки. Эта точка называется центром сферы. Опр: Отрезок, соединяющий любую точку сферы и ее центр, а также длина этого отрезка называются радиусом сферы.Шаром называется фигура, состоящая из сферы и множества всех ее внутренних точек.Сфера называется границей или поверхностью шара, а центр сферы – центром шара. Сфера Точки, расстояние от которых до центра сферы меньше ее радиуса, называются внутренними точками сферы.Точки, расстояние от которых до центра сферы больше ее радиуса, называются внешними точками сферы. СфераОтрезок, соединяющий две точки сферы, называется хордой сферы (шара).Любая хорда, проходящая через центр сферы, называется диаметром сферы (шара).