Как можно определить момент инерции маятника. Измерение момента инерции маятника. Тема: Определение момента инерции твердых тел с помощью маятника Максвелла

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ № 1.2

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ФИЗИЧЕСКОГО

МАЯТНИКА

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: определить момент инерции физического маятника и исследовать зависимость момента инерции от положения центра масс маятника относительно оси вращения.

ПРИБОРЫ И ПРИНАДЛЕЖНОСТИ: физический маятник на кронштейне, секундомер, призма на подставке, масштабная линейка.

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ

Периодические смещения тела относительно некоторого устойчивого положения (положения равновесия) называют колебательным движением или простыми колебаниями . Колебательные движения в общем случае представляют собой сложные физические процессы. Учение о колебаниях служит основой целого ряда прикладных дисциплин (акустика, теория машин, сейсмология и др.).

Простейшим видом колебаний является гармоническое колебательное движение. Гармонические колебания тела возникают при действии на него силы, пропорциональной смещению, т.е. . Эту силу называют квазиупругой или возвращающей. Природа возвращающей силы может быть различна (сила упругости, гравитации и др.) При гармоническом движении зависимость пути (смещения ) от времени выражается функцией синуса или косинуса:

где максимальное смещение тела от положения равновесия (амплитуда),

круговая или циклическая частота,

Время одного полного колебания (период),

начальная фаза колебания .

Ускорение тела, совершающего гармонические колебания, пропорционально смещению и направлено всегда в сторону равновесия, т.е. для каждого момента времени смещение и ускорение имеют противоположные знаки:

. (1)

Гармонические колебания совершают маятники под действием силы тяжести, если углы отклонения от отвесного положения (положения равновесия) малы.

Маятники бывают простые и сложные. Тело малых размеров (материальная точка), подвешенное на длинной нити, растяжением и весом которой можно пренебречь, называют простым или математическим маятником . Твердое тело произвольной формы, укрепленное на горизонтальной оси, не проходящей через центр тяжести, представляет собой сложный или физический маятник .

Всякое твердое тело можно рассматривать как совокупность неизменно соединенных материальных точек с массами , , . . ., , поэтому момент инерции физического маятника можно определить как сумму моментов инерции всех его материальных точек:

, (2)

где r расстояние от каждой из них до оси вращения.

На практике воспользоваться формулой (2) не представляется возможным, поэтому для определения момента инерции физического маятника мы опишем его колебания с помощью закона динамики вращательного движения.

На физический маятник действуют две силы: сила тяжести, приложенная к центру тяжести маятника (точке ), и сила реакции опоры, приложенная в месте крепления маятника, где проходит ось вращения.

При отклонении физического маятника от положения равновесия на угол (рис.1) сила тяжести будет создавать вращательный момент, под действием которого начнутся колебания.

Рис. 1

Момент силы тяжести определяет угловое ускорение .

Если обозначить расстояние от оси вращения до центра тяжести через , то момент силы тяжести выразится так:

или при малых углах

, (3)

где плечо силы тяжести, масса маятника, ускорение свободного падения тела. «-» объясняется возвращающим характером момента силы. Он направлен противоположно углу отклонения маятника.

При колебаниях маятника центр его тяжести движется по дуге круга, поэтому описать его движение можно с помощью закона динамики вращательного движения. Он запишется в виде:

, (4)

где момент инерции тела относительно оси вращения .

Подставив в уравнение (4) значение (3) и решив его относительно углового ускорения, получим

, (5)

Уравнение (5) отличается от уравнения (1) только тем, что в него входят угловые величины вместо линейных.

Из сравнения уравнений (1) и (5) следует, что или , откуда получается формула для периода колебаний физического маятника:

. (6)

Из формулы периода колебаний физического маятника (5) найдем его момент инерции:

, (7)

где период колебаний маятника.

Это выражение является расчетной формулой для определения момента инерции физического маятника.

МЕТОДИКА ЭКСПЕРИМЕНТА И ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ

Физический маятник в данной работе состоит из стального стержня О D , на котором винтами крепится массивное тело В цилиндрической формы (рис.2). При освобождении опорных винтов, тело В можно перемещать по стержню и, следовательно, изменять положение центра тяжести маятника.

Для подвеса маятника служит специальный кронштейн, на который подвешивается маятник в точке .

Рис. 2

Рис. 3

Для нахождения центра тяжести маятника (точка ) служит специальная призма, укрепленная на устойчивой подставке (ребро стула). Маятник кладется горизонтально на ребро этой призмы и, наблюдая за балансированием, отыскивается такое положение, при котором моменты сил тяжести, действующие на правую и левую части маятника, окажутся равными (рис.3). При таком положении центр тяжести маятника будет расположен в стержне против точки опоры. Расстояние определяется при помощи масштабной линейки.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Определяют общую массу маятника (стержень и груз) в килограммах.
Укрепив груз В на конце стержня , определяют на какой-либо опоре положение точки и измеряют расстояние r масштабной линейкой.
Подвесив маятник на кронштейн, отклоняют его от положения равновесия на небольшой угол (конец стержня отводят на расстояние 6-8 см) и отпускают его. Пропустив 3-4 полных колебания, пускают в ход секундомер в тот момент, когда маятник достигает максимального отклонения. Определяют время 3050 полных колебаний маятника ().
Повторяют описанную в пункте 3 операцию еще 3 раза и по полученным данным определяют среднее значение периода колебаний маятника при данном положении груза.
Передвигают груз по стержню на 6-7 см и повторяют описанные операции определения и при новом положении груза B .
Работа заканчивается, если таких перемещений груза с сопровождающими измерениями проделано 3-5 раз.
Полученные опытные данные подставляют в формулу (7) и вычисляют в системе единиц СИ моменты инерции маятника при разных расстояниях центра тяжести от оси вращения.
Запись результатов измерений и вычислений производится в таблице:

Кг	кг·м 2	Кг·м 2	Кг·м 2	Кг·м 2



Кг	кг·м 2	Кг·м 2	Кг·м 2	Кг·м 2



Кг	кг·м 2	Кг·м 2	Кг·м 2	Кг·м 2

Результаты моментов инерции записываются в стандартном виде (в виде интервалов).
По результатам таблицы делается вывод о зависимости момента инерции физического маятника от положения центра его тяжести.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

Какие колебания называются свободными?
Какие колебания называются гармоническими?
Запишите уравнение свободных гармонических колебаний.
Что такое частота колебаний, их период и амплитуда?
Какие характеристики гармонических колебаний не изменяются с течением времени?
Какие характеристики колебаний являются гармоническими функциями времени?
Дайте определение моменту инерции материальной точки и моменту инерции тела.
Дайте определение физическому маятнику. Как момент инерции физического маятника зависит от положения цилиндра на стержне?
Дайте 2! определения моменту силы (через расстояние от центра тяжести до оси вращения и через плечо силы). Как определить направление момента силы?
Запишите основной закон динамики для вращательного движения и получите формулу для периода колебаний физического маятника с сопутствующими объяснениями (используйте дополнительную литературу).

Физическим маятником называется твердое тело, способное совершать колебания вокруг неподвижной точки, не совпадающей с его центром инерции. В положении равновесия центр инерции маятника С находится под точкой подвеса маятника O, на одной с ней вертикали (рис. 50). При отклонении маятника от положения равновесия на угол α возникает вращательный момент, стремящийся вернуть маятник в положение равновесия. Этот момент равен

М = – mglsin(α)

где m – масса маятника, а l – расстояние между точкой подвеса и центром инерции маятника. Знак «–» означает, что вращательный момент стремится вернуть маятник в положение равновесия, т. е. направлен в сторону, противоположную изменения угла Δα. Обозначив момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса, буквой J , можно написать:

Введем обозначение:

Тогда для малых отклонений, когда выполняется условие sin(α) ≈ α, получаем уравнение гармонических колебаний:

При малых отклонениях от положения равновесия физический маятник совершает гармонические колебания, циклическая частота которых определяется формулой (137). Соответственно, период колебаний физического маятника равен:

Физический маятник

Из сопоставления формул (139) и (134) следует, что математический маятник с длиной

будет иметь такой период колебаний, как и данный физический маятник. Величину (140) называют приведенной длиной физического маятника. Таким образом,приведенная длина физического маятника – это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом данного физического маятника.

Точка на прямой, соединяющей точку подвеса с центром инерции, лежащая на расстоянии приведенной длины от оси вращения, называется центром качания физического маятника (см. точку О" на рис. 50).

По теореме Штейнера момент инерции маятника l может быть представлен в виде

J = J 0 + ml 2 , (141)

где J 0 – момент инерции относительно оси, параллельной оси вращения и проходящей через центр инерции маятника. Подставив (141) в формулу (140), получаем:

Из (142) следует, что приведенная длина всегда больше l , так что точка подвеса и центр качания лежат по разные стороны от центра инерции.

Подвесим маятник в точке, совпадающей с центром качания О". В соответствии с (142) приведенная длина в этом случае будет равна

где l" – расстояние между первоначальным центром качания и центром инерции маятника. Учитывая, что l" = L – l , выражение (143) можно записать следующим образом:

Поскольку J 0 + ml 2 равно моменту инерции относительно первоначальной оси вращения J , и этой же величине, согласно (140) равно выражение mlL , то числитель дроби будет равен нулю. Поэтому L" = L. Это означает, что при подвешивании маятника в центре качания приведенная длина, а значит, и период колебаний будут теми же, что и вначале. Следовательно, точка подвеса и центр качания обладают свойством взаимности: при переносе точки подвеса в центр качания прежняя точка подвеса становится новым центром качания.

Это положение называется

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ

ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА

Цель работы : ознакомление с физическим маятником и определение его момента инерции относительно оси вращения. Изучение зависимости величины момента инерции маятника от пространственного распределения массы.

Приборы и принадлежности : физический маятник с кронштейном для его подвеса, металлическая призма для определения положения центра тяжести маятника, секундомер.

Теоретическое введение.

Физическим маятником (рис.1) называется любое твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси (О), не проходящей через центр его тяжести (С). Точка подвеса маятника является центром вращения.

Рис.1. Физический маятник

При отклонении маятника от положения равновесия на угол  возникает вращающий момент, созданный силой тяжести:

где l – расстояние между точкой подвеса и центром тяжести маятника (знак ми-нус обусловлен тем, что момент силы М имеет такое направление, что стремит-ся вернуть маятник к положению равновесия, т.е. уменьшить угол ).

Для малых углов отклонения
, тогда

(0)

С другой стороны момент возвращающей силы можно записать в виде:

(0)

I – момент инерции маятника

i – угловое ускорение.

Из (1) и (2) можно получить:

Обозначая
(0)

получим
(4)

Уравнение (4) – линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка. Его решением является выражение
.

С учетом уравнения (3) период малых колебаний физического маятника можно записать как:

, (5)

где
- приведенная длина физического маятника

Из формулы (5) можно выразить момент инерции физического маятника относительно оси вращения

(6)

Находя путем измерений m , l и T , можно по формуле (6) вычислить момент инерции физического маятника относительно заданной оси вращения.

В данной работе используется физический маятник (рис.2), представляющий собой стальной стержень, на котором закреплены две массивные стальные чечевицы (А 1 и А 2) и опорные призмы для подвеса (П 1 и П 2). Момент инерции такого маятника будет складываться из моментов инерции стержня, чечевиц и призм:

где I 0 - момент инерции стержня относительно оси, проходящей через центр тяжести.

(7)

m ст – масса стержня,

l ст – длина стержня,

d – расстояние от центра тяжести стержня до точки подвеса.

Моменты инерции чечевиц и призм можно приближенно рассчитать как для точечных масс. Тогда момент инерции маятника запишется в виде:

где
- массы чечевиц А 1 и А 2 ,

- расстояния от оси вращения (точки подвеса) до чечевиц А 1 и А 2 соответственно,

- массы призм П 1 и П 1 ,

- расстояния от оси вращения до призм П 1 и П 2 соответственно.

Т.к. по условиям выполнения работы перемещается лишь одна чечевица А 1 , то изменяться будет лишь момент инерции и

(9)

Описание установки.

Применяемый в данной работе физический маятник (рис.2) представляет собой стальной стержень (С), на котором закреплены две массивные стальные чечевицы (А 1 и А 2) и опорные призмы для подвеса (П 1 и П 2). Маятник подвешивается на кронштейне.

Посредством перемещения одной из чечевиц можно изменить момент инерции маятника относительно точки подвеса (оси вращения).

Центр тяжести маятника определяется балансированием маятника на горизонтальном ребре специальной призмы (рис.3). На стержне маятника через 10 мм нанесены кольцевые нарезки, служащие для точного определения расстояния от центра тяжести до оси вращения без помощи линейки. Небольшим смещением чечевицы А 1 вдоль стержня можно добиться, чтобы расстояние l от точки подвеса до центра тяжести равнялось целому числу сантиметров, отсчитываемому по шкале на стержне.

Порядок выполнения работы.

Определить положение центра тяжести маятника.

а) Снять маятник с кронштейна и установить его в горизонтальном положении на специальной призме П 3 (рис.3) так, чтобы он находился в равновесии. Точное положение равновесия достигается небольшим передвижением чечевицы А 1 .

Рис.3. Уравновешивание маятника

б) По шкале на маятнике измерить l - расстояние от точки подвеса (ребро призмы П 1) до центра тяжести маятника (верхнее ребро призмы П 3).

в) По шкале маятника измерить расстояние - от точки подвеса (ребро призмы П 1) до верхней чечевицы А 1 .

2. Определить период колебаний физического маятника.

а) Установить маятник призмой П 1 на кронштейн (рис.2)

б) Определить время полных 50 - 100 колебаний маятника. Записать время t и число n колебаний маятника.

в) Определить период колебаний физического маятника по формуле:

(10)

3. Снять маятник с кронштейна. Передвинуть чечевицу А 1 на несколько сантиметров в новое положение и повторить опыт. Измерения должны быть выполнены не менее, чем для трех различных положений чечевицы А 1 относительно точки подвеса.

4. По формуле (6) вычислить момент инерции физического маятника I оп .

5. Вычислить относительную погрешность момента инерции для одного из рассмотренных случаев по формуле:

. (11)

Величины T и  l определяются по классу точности приборов.

6. Найти абсолютную погрешность
для каждого случая, принимая относительную погрешность одинаковой для всех случаев.

Записать в таблицу окончательный результат в виде

7. По формуле (8) вычислить момент инерции маятника I теор для каждого случая.

8. Сравнить полученные результаты I оп и I теор , вычислив отношение:

(12)

Сделать вывод о том, насколько велико расхождение полученных значений и каковы причины расхождений.

Результаты измерений и вычислений

№ п/п					,	, кг м 2	I теор , кг м 2

Контрольные вопросы.

Что такое физический маятник?

Что называется приведенной длиной физического маятника?

Какое колебание называется гармоническим?

Что такое период колебаний?

Выведите формулу для вычисления периода колебаний физического маятника.

Что такое момент инерции? В чем заключается аддитивность момента инерции?

Получите формулу для вычисления момента инерции физического маятника.

Литература

1. Савельев И. В. Курс общей физики: Учебн. пособие для втузов: в 3 т. Т.1: Механика. Молекулярная физика. - 3-е изд., испр. - М.: Наука, 1986. – 432с.

2. Детлаф А. А. , Яворский Б. М. Курс физики: Учебн. пособие для втузов. - М.: Высшая школа, 1989. - 607 с. - предм. указ.: с. 588-603.

3. Лабораторный практикум по физике: Учеб. пособие для студентов втузов/ Б. Ф. Алексеев, К. А. Барсуков, И. А. Войцеховская и др.; Под ред. К. А. Барсукова и Ю. И. Уханова. – М.: Высш. школа,1988. – 351 с.: ил.

ВЫВОД РАСЧЕТНОЙ ФОРМУЛЫ

Физическим маятником называется твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси О , не проходящей через центр масстела точку С (рис. 2.1).

Если маятник выведен из положения равновесия на некоторый угол j , то составляющая силы тяжести уравновешивается силой реакции оси О , а составляющая стремится возвратить маятник в положение равновесия. Все силы приложены к центру масс тела. При этом

. (2.1)

Знак минус означает, что угловое смещение j и возвращающая сила имеют противоположные направления. При достаточно малых углах отклонения маятника из положения равновесия sinj » j , поэтому F t » -mgj . Поскольку маятник в процессе колебаний совершает вращательное движение относительно оси О , то оно может быть описано основным законом динамики вращательного движения

где М – момент силы F t относительно оси О , I – момент инерции маятника относительно оси О , – угловое ускорение маятника.

Момент силы в данном случае равен

M = F t ×l = –mgj×l , (2.3)

где l – расстояние между точкой подвеса и центром масс маятника.

С учетом (2.2) уравнение (2.3) можно записать

(2.4)

где .

Решением дифференциального уравнения (2.5) является функция, позволяющая определить положение маятника в любой момент времени t ,

j=j 0 × cos(w 0 t+a 0) . (2.6)

Из выражения (2.6) следует, что при малых колебаниях физический маятник совершает гармонические колебания с амплитудой колебаний j 0 , циклической частотой , начальной фазой a 0 и периодом, определяемым по формуле

где L=I/(mg) – приведенная длина физического маятника, т. е. длина такого математического маятника, период которого совпадает с периодом физического маятника. Формула (2.7) позволяет определить момент инерции твердого тела относительно любой оси, если измерен период колебаний этого тела относительно этой оси. Если физический маятник имеет правильную геометрическую форму и его масса равномерно распределена по всему объему, в формулу (2.7) можно подставить соответствующее выражение для момента инерции (Приложение 1).

В эксперименте исследуется физический маятник, называемый оборотным и представляющий собой тело, колеблющееся вокруг осей, расположенных на разном расстоянии от центра тяжести тела.

Оборотный маятник состоит из металлического стержня, на котором неподвижно укреплены опорные призмы О 1 и О 2 и две подвижные чечевицы А и B , которые могут закрепляться в определённом положении с помощью винтов (рис. 2.2).

Физический маятник совершает гармонические колебания при малых углах отклонения от положения равновесия . Период таких колебаний определяется соотношением (2.7)

где I – момент инерции маятника относительно оси вращения, m – масса маятника, d – расстояние от точки подвеса до центра масс, g – ускорение силы тяжести.

Применяемый в работе физический маятник имеет две опорные призмы О 1 и О 2 для подвешивания. Такой маятник называется оборотным.

Сначала маятник подвешивают на кронштейн опорной призмой О 1 и определяют период колебаний Т 1 относительно этой оси:

(2.8)

Затем маятник подвешивают призмой О 2 и определяют Т 2:

Таким образом, моменты инерции I 1 и I 2 О 1 и О 2 , будут соответственно равны и . Масса маятника m и периоды колебаний Т 1 и Т 2 могут быть измерены с высокой степенью точности.

По теореме Штейнера

где I 0 – момент инерции маятника относительно оси, проходящей через центр тяжести. Таким образом, момент инерции I 0 можно определить,зная моменты инерции I 1 и I 2 .

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Снимите маятник с кронштейна, поместите его на трёхгранную призму так, чтобы расстояния от опоры до призм О 1 и О 2 не были равны между собой. Передвигая чечевицу вдоль стержня, установите маятник в положение равновесия, после чего закрепите чечевицу винтом.

2. Измерьте расстояние d 1 от точки равновесия (центр масс С ) до призмы О 1 и d 2 – от С до призмы О 2 .

3. Подвесив маятник опорной призмой О 1 , определите период колебаний , где N – число колебаний (не более 50 ).

4. Аналогичным образом определите период колебаний Т 2 относительно оси, проходящей через ребро призмы О 2 .

5. Подсчитайте моменты инерции I 1 и I 2 относительно осей, проходящих через опорные призмы О 1 и О 2 , по формулам и , измерив массу маятника m и периоды колебаний Т 1 и Т 2 . Из формул (2.10) и (2.11) определите момент инерции маятника относительно оси, проходящей через центр тяжести (масс) I 0 . Из двух опытов найдите среднее < I 0 > .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ

ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА

Теоретическое введение.

Рис.1. Физический маятник

Для малых углов отклонения
, тогда

(0)

С другой стороны момент возвращающей силы можно записать в виде:

(0)

I – момент инерции маятника

i – угловое ускорение.

Из (1) и (2) можно получить:

Обозначая
(0)

получим
(4)

Уравнение (4) – линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка. Его решением является выражение
.

С учетом уравнения (3) период малых колебаний физического маятника можно записать как:

, (5)

где
- приведенная длина физического маятника

Из формулы (5) можно выразить момент инерции физического маятника относительно оси вращения

(6)

где I 0 - момент инерции стержня относительно оси, проходящей через центр тяжести.

(7)

m ст – масса стержня,

l ст – длина стержня,

d – расстояние от центра тяжести стержня до точки подвеса.

где
- массы чечевиц А 1 и А 2 ,

- расстояния от оси вращения (точки подвеса) до чечевиц А 1 и А 2 соответственно,

- массы призм П 1 и П 1 ,

- расстояния от оси вращения до призм П 1 и П 2 соответственно.

(9)

Описание установки.

Порядок выполнения работы.

Определить положение центра тяжести маятника.

Рис.3. Уравновешивание маятника

в) По шкале маятника измерить расстояние - от точки подвеса (ребро призмы П 1) до верхней чечевицы А 1 .

2. Определить период колебаний физического маятника.

а) Установить маятник призмой П 1 на кронштейн (рис.2)

б) Определить время полных 50 - 100 колебаний маятника. Записать время t и число n колебаний маятника.

в) Определить период колебаний физического маятника по формуле:

(10)

4. По формуле (6) вычислить момент инерции физического маятника I оп .

5. Вычислить относительную погрешность момента инерции для одного из рассмотренных случаев по формуле:

. (11)

Величины T и  l определяются по классу точности приборов.

Записать в таблицу окончательный результат в виде

7. По формуле (8) вычислить момент инерции маятника I теор для каждого случая.

8. Сравнить полученные результаты I оп и I теор , вычислив отношение:

(12)

Сделать вывод о том, насколько велико расхождение полученных значений и каковы причины расхождений.

Результаты измерений и вычислений

№ п/п					,	, кг м 2	I теор , кг м 2

Контрольные вопросы.

Что такое физический маятник?

Что называется приведенной длиной физического маятника?

Какое колебание называется гармоническим?

Что такое период колебаний?

Выведите формулу для вычисления периода колебаний физического маятника.

Что такое момент инерции? В чем заключается аддитивность момента инерции?

Получите формулу для вычисления момента инерции физического маятника.

Литература