Основы математических моделей. Математическое моделирование. Форма и принципы представления математических моделей Модель математическая модель и математическое моделирование

В предложенной вашему вниманию статье мы предлагаем примеры математических моделей. Кроме этого, мы обратим внимание на этапы создания моделей и разберем некоторые задачи, связанные с математическим моделированием.

Еще один наш вопрос - это математические модели в экономике, примеры, определение которых мы рассмотрим немного позже. Начать наш разговор мы предлагаем с самого понятия «модель», кратко рассмотрим их классификацию и перейдем к основным нашим вопросам.

Понятие «модель»

Мы часто слышим слово «модель». Что же это такое? Данный термин имеет множество определений, вот только три из них:

• специфический объект, который создается для получения и хранения информации, отражающий некоторые свойства или характеристики и так далее оригинала данного объекта (этот специфический объект может выражаться в разной форме: мысленный, описание при помощи знаков и так далее);
• еще под моделью подразумевается отображение какой-либо конкретной ситуации, жизненной или управленческой;
• моделью может служить уменьшенная копия какого-либо объекта (они создаются для более подробного изучения и анализа, так как модель отражает структуру и взаимосвязи).

Исходя из всего, что было сказано ранее, можно сделать небольшой вывод: модель позволяет подробно изучить сложную систему или объект.

Все модели можно классифицировать по ряду признаков:

• по области использования (учебные, опытные, научно-технические, игровые, имитационные);
• по динамике (статические и динамические);
• по отрасли знаний (физические, химические, географические, исторические, социологические, экономические, математические);
• по способу представления (материальные и информационные).

Информационные модели, в свою очередь, делятся на знаковые и вербальные. А знаковые - на компьютерные и некомпьютерные. Теперь перейдем к подробному рассмотрению примеров математической модели.

Математическая модель

Как не трудно догадаться, математическая модель отражает какие-либо черты объекта или явления при помощи специальных математических символов. Математика и нужна для того, чтобы моделировать закономерности окружающего мира на своем специфическом языке.

Метод математического моделирования зародился достаточно давно, тысячи лет назад, вместе с появлением данной науки. Однако толчок для развития данного способа моделирования дало появление ЭВМ (электронно-вычислительных машин).

Теперь перейдем к классификации. Ее так же можно провести по некоторым признакам. Они представлены в таблице ниже.

Мы предлагаем остановиться и подробнее рассмотреть последнюю классификацию, так как она отражает общие закономерности моделирования и цели создаваемых моделей.

Дескриптивные модели

В данной главе мы предлагаем остановиться подробнее на дескриптивных математических моделях. Для того чтобы было все предельно понятно, будет приведен пример.

Начнем с того, что этот вид можно назвать описательным. Это связано с тем, что мы просто делаем расчеты и прогнозы, но никак не можем повлиять на исход события.

Ярким примером описательной математической модели является вычисление траектории полета, скорости, расстояния от Земли кометы, которая вторглась в просторы нашей Солнечной системы. Эта модель является описательной, так как все полученные результаты могут только предупредить нас о какой-либо опасности. Повлиять на исход события, увы, мы не можем. Однако, основываясь на полученных расчетах, можно предпринять какие-либо меры для сохранения жизни на Земле.

Оптимизационные модели

Сейчас мы немного поговорим об экономико-математических моделях, примерами которых могут служить разные сложившиеся ситуации. В данном случае речь идет о моделях, которые помогают найти верный ответ в определенных условиях. Они обязательно имеют некие параметры. Чтобы стало предельно понятно, рассмотрим пример из аграрной части.

У нас есть зернохранилище, но зерно очень быстро портится. В этом случае нам необходимо правильно подобрать температурный режим и оптимизировать процесс хранения.

Таким образом, мы можем дать определение понятию «оптимизационная модель». В математическом смысле это система уравнений (как линейных, так и нет), решение которой помогает найти оптимальное решение в конкретной экономической ситуации. Пример математической модели (оптимизационной) мы рассмотрели, но хочется еще добавить: данный вид относится к классу экстремальных задач, они помогают описать функционирование экономической системы.

Отметим еще один нюанс: модели могут носить разный характер (см. таблицу ниже).

Многокритериальные модели

Сейчас предлагаем вам поговорить немного о математической модели многокритериальной оптимизации. До этого мы привели пример математической модели оптимизации процесса по какому-либо одному критерию, но что делать, если их много?

Ярким примером многокритериальной задачи служит организация правильного, полезного и одновременно экономного питания больших групп людей. С такими задачами часто встречаются в армии, школьных столовых, летних лагерях, больницах и так далее.

Какие критерии нам даны в данной задаче?

1. Питание должно быть полезным.
2. Расходы на пищу должны быть минимальными.

Как видите, эти цели совсем не совпадают. Значит, при решении задачи необходимо искать оптимальное решение, баланс между двумя критериями.

Игровые модели

Говоря об игровых моделях, необходимо понимать понятие «теория игр». Если говорить просто, то данные модели отражают математические модели настоящих конфликтов. Только стоит понимать, что, в отличие от реального конфликта, игровая математическая модель имеет свои определенные правила.

Сейчас будет приведен минимум информации из теории игр, которая поможет вам понять, что такое игровая модель. И так, в модели обязательно присутствуют стороны (две или более), которых принято называть игроками.

Все модели имеют некие характеристики.

Игровая модель может быть парной или множественной. Если у нас есть два субъекта, то конфликт парный, если больше - множественный. Также можно выделить антагонистическую игру, ее еще называют игрой с нулевой суммой. Это модель, в которой выигрыш одного из участников равняется проигрышу другого.

Имитационные модели

В данном разделе мы обратим внимание на имитационные математические модели. Примерами задач могут служить:

• модель динамики численности микроорганизмов;
• модель движения молекул, и так далее.

В данном случае мы говорим о моделях, которые максимально приближены к реальным процессам. По большому счету, они имитируют какое-либо проявление в природе. В первом случае, например, мы можем моделировать динамику численности муравьев в одной колонии. При этом можно наблюдать за судьбой каждой отдельной особи. В данном случае математическое описание используют редко, чаще присутствуют письменные условия:

• через пять дней женская особь откладывает яйца;
• через двадцать дней муравей погибает, и так далее.

Таким образом, используются для описания большой системы. Математическое заключение - это обработка полученных статистических данных.

Требования

Очень важно знать, что к данному виду модели предъявляют некоторые требования, среди которых - приведенные в таблице ниже.

Этапы моделирования

Всего в математическом моделировании принято выделять четыре этапа.

1. Формулировка законов, связывающих части модели.
2. Исследование математических задач.
3. Выяснение совпадений практических и теоретических результатов.
4. Анализ и модернизация модели.

Экономико-математическая модель

В этом разделе кратко осветим вопрос Примерами задач могут служить:

• формирование производственной программы выпуска мясной продукции, обеспечивающей максимальную прибыль производства;
• максимизация прибыли организации путем расчета оптимального количества выпуска столов и стульев на мебельной фабрике, и так далее.

Экономико-математическая модель отображает экономическую абстракцию, которая выражена при помощи математических терминов и знаков.

Компьютерная математическая модель

Примерами компьютерной математической модели являются:

• задачи гидравлики при помощи блок-схем, диаграмм, таблиц, и так далее;
• задачи на механику твердого тела, и так далее.

Компьютерная модель - это образ объекта или системы, представленный в виде:

• таблицы;
• блок-схемы;
• диаграммы;
• графика, и так далее.

При этом данная модель отражает структуру и взаимосвязи системы.

Построение экономико-математической модели

Мы уже ранее сказали о том, что такое экономико-математическая модель. Пример решения задачи будет рассмотрен прямо сейчас. Нам необходимо произвести анализ производственной программы для выявления резерва повышения прибыли при сдвиге в ассортименте.

Полностью рассматривать задачу мы не будем, а только построим экономико-математическую модель. Критерий нашей задачи - максимизация прибыли. Тогда функция имеет вид: Л=р1*х1+р2*х2…, стремящееся к максимуму. В данной модели р - это прибыль за единицу, х - это количество производимых единиц. Далее, основываясь на построенной модели, необходимо произвести расчеты и подвести итог.

Пример построения простой математической модели

Задача. Рыбак вернулся со следующим уловом:

• 8 рыб - обитатели северных морей;
• 20% улова - обитатели южных морей;
• из местной реки не обнаружилось ни одной рыбы.

Сколько рыб он купил в магазине?

Итак, пример построения математической модели данной задачи выглядит следующим образом. Обозначаем общее количество рыб за х. Следуя условию, 0,2х - это количество рыб, обитающих в южных широтах. Теперь объединяем всю имеющуюся информацию и получаем математическую модель задачи: х=0,2х+8. Решаем уравнение и получаем ответ на главный вопрос: 10 рыб он купил в магазине.

Математическая модел ь – это математическое представление реальности.

Математическое моделирование - процесс построения и изучения математических моделей.

Все естественные и общественные науки, использующие математический аппарат, по сути занимаются математическим моделированием: заменяют реальный объект его математической моделью и затем изучают последнюю.

Определения.

Никакое определение не может в полном объёме охватить реально существующую деятельность по математическому моделированию. Несмотря на это, определения полезны тем, что в них делается попытка выделить наиболее существенные черты.

Определение модели по А. А. Ляпунову: Моделирование - это опосредованное практическое или теоретическое исследование объекта, при котором непосредственно изучается не сам интересующий нас объект, а некоторая вспомогательная искусственная или естественная система:

находящаяся в некотором объективном соответствии с познаваемым объектом;

способная замещать его в определённых отношениях;

дающая при её исследовании, в конечном счёте, информацию о самом моделируемом объекте.

По учебнику Советова и Яковлева: «модель - это объект-заместитель объекта-оригинала, обеспечивающий изучение некоторых свойств оригинала.» «Замещение одного объекта другим с целью получения информации о важнейших свойствах объекта-оригинала с помощью объекта-модели называется моделированием.» «Под математическим моделированием будем понимать процесс установления соответствия данному реальному объекту некоторого математического объекта, называемого математической моделью, и исследование этой модели, позволяющее получать характеристики рассматриваемого реального объекта. Вид математической модели зависит как от природы реального объекта, так и задач исследования объекта и требуемой достоверности и точности решения этой задачи.»

По Самарскому и Михайлову, математическая модель – это «эквивалент» объекта, отражающий в математической форме важнейшие его свойства: законы, которым он подчиняется, связи, присущие составляющим его частям, и т. д. Существует в триадах «модель-алгоритм-программа». Создав триаду «модель- алгоритм-программа», исследователь получает в руки универсальный, гибкий и недорогой инструмент, который вначале отлаживается, тестируется в пробных вычислительных экспериментах. После того, как адекватность триады исходному объекту установлена, с моделью проводятся разнообразные и подробные «опыты», дающие все требуемые качественные и количественные свойства и характеристики объекта.

По монографии Мышкиса: «Перейдём к общему определению. Пусть мы собираемся исследовать некоторую совокупность S свойств реального объекта a с

помощью математики. Для этого мы выбираем „математический объект“ a" - систему уравнений, или арифметических соотношений, или геометрических фигур, или комбинацию того и другого и т. д.,- исследование которого средствами математики и должно ответить на поставленные вопросы о свойствах S. В этих условиях a" называется математической моделью объекта a относительно совокупности S его свойств».

По Севостьянову А. Г. : «Математической моделью называется совокупность математических соотношений, уравнений, неравенств и т.п., описывающих основные закономерности, присущие изучаемому процессу, объекту или системе».

Несколько менее общее определение математической модели, основанное на идеализации «вход - выход - состояние», заимствованной из теории автоматов, даёт Wiktionary: «Абстрактное математическое представление процесса, устройства или теоретической идеи; оно использует набор переменных, чтобы представлять входы, выходы и внутренние состояния, а также множества уравнений и неравенств для описания их взаимодействия.»

Наконец, наиболее лаконичное определение математической модели: «Уравнение, выражающее идею.»

Формальная классификация моделей.

Формальная классификация моделей основывается на классификации используемых математических средств. Часто строится в форме дихотомий. Например, один из популярных наборов дихотомий:

Линейные или нелинейные модели; Сосредоточенные или распределённые системы; Детерминированные или стохастические; Статические или динамические; Дискретные или непрерывные.

и так далее. Каждая построенная модель является линейной или нелинейной, детерминированной или стохастической, … Естественно, что возможны и смешанные типы: в одном отношении сосредоточенные, в другом – распределённые модели и т. д.

Классификация по способу представления объекта.

Наряду с формальной классификацией, модели различаются по способу представления объекта:

Структурные модели представляют объект как систему со своим устройством и механизмом функционирования. Функциональные модели не используют таких представлений и отражают только внешне воспринимаемое поведение объекта. В их предельном выражении они называются также моделями «чёрного ящика» Возможны также комбинированные типы моделей, которые иногда называют моделями «серого ящика».

Практически все авторы, описывающие процесс математического моделирования, указывают, что сначала строится особая идеальная конструкция, содержательная модель. Устоявшейся терминологии здесь нет, и другие авторы называют этот идеальный объект концептуальная модель, умозрительная модель или предмодель. При этом финальная математическая конструкция называется формальной моделью или просто математической моделью, полученной в результате формализации данной содержательной модели. Построение содержательной модели может производиться с помощью набора готовых идеализаций, как в механике, где идеальные пружины, твёрдые тела, идеальные маятники, упругие среды и т. п. дают готовые структурные элементы для содержательного моделирования. Однако в областях знания, где не существует полностью завершенных формализованных теорий, создание содержательных моделей резко усложняется.

В работе Р. Пайерлса дана классификация математических моделей, используемых в физике и, шире, в естественных науках. В книге А. Н. Горбаня и Р. Г. Хлебопроса эта классификация проанализирована и расширена. Эта классификация сфокусирована, в первую очередь, на этапе построения содержательной модели.

Эти модели «представляют собой пробное описание явления, причем автор либо верит в его возможность, либо считает даже его истинным». По Р. Пайерлсу это, например, модель Солнечной системы по Птолемею и модель Коперника, модель атома Резерфорда и модель Большого Взрыва.

Никакая гипотеза в науке не бывает доказана раз и навсегда. Очень чётко это сформулировал Ричард Фейнман:

«У нас всегда есть возможность опровергнуть теорию, но, обратите внимание, мы никогда не можем доказать, что она правильна. Предположим, что вы выдвинули удачную гипотезу, рассчитали, к чему это ведет, и выяснили, что все ее следствия подтверждаются экспериментально. Значит ли это, что ваша теория правильна? Нет, просто-напросто это значит, что вам не удалось ее опровергнуть.»

Если модель первого типа построена, то это означает что она временно признаётся за истину и можно сконцентрироваться на других проблемах. Однако это не может быть точкой в исследованиях, но только временной паузой: статус модели первого типа может быть только временным.

Феноменологическая модель содержит механизм для описания явления. Однако этот механизм недостаточно убедителен, не может быть достаточно подтверждён имеющимися данными или плохо согласуется с имеющимися теориями и накопленным знанием об объекте. Поэтому феноменологические модели имеют статус временных решений. Считается, что ответ всё ещё неизвестен и необходимо продолжить поиск «истинных механизмов». Ко второму типу Пайерлс относит, например, модели теплорода и кварковую модель элементарных частиц.

Роль модели в исследовании может меняться со временем, может случиться так, что новые данные и теории подтвердят феноменологические модели и те будут повышены до

статуса гипотезы. Аналогично, новое знание может постепенно прийти в противоречие с моделями-гипотезами первого типа и те могут быть переведены во второй. Так, кварковая модель постепенно переходит в разряд гипотез; атомизм в физике возник как временное решение, но с ходом истории перешёл в первый тип. А вот модели эфира, проделали путь от типа 1 к типу 2, а сейчас находятся вне науки.

Идея упрощения очень популярна при построении моделей. Но упрощение бывает разным. Пайерлс выделяет три типа упрощений в моделировании.

Если можно построить уравнения, описывающие исследуемую систему, то это не значит, что их можно решить даже с помощью компьютера. Общепринятый прием в этом случае - использование приближений. Среди них модели линейного отклика. Уравнения заменяются линейными. Стандартный пример - закон Ома.

Если мы используем модель идеального газа для описания достаточно разреженных газов, то это - модель типа 3. При более высоких плотностях газа тоже полезно представлять себе более простую ситуацию с идеальным газом для качественного понимания и оценок, но тогда это уже тип 4.

В модели типа 4 отбрасываются детали, которые могут заметно и не всегда контролируемо повлиять на результат. Одни и те же уравнения могут служить моделью типа 3 или 4 - это зависит от явления, для изучения которого используется модель. Так, если модели линейного отклика применяются при отсутствии более сложных моделей, то это уже феноменологические линейные модели, и относятся они к следующему типу 4.

Примеры: применение модели идеального газа к неидеальному, уравнение состояния Ван-дер-Ваальса, большинство моделей физики твердого тела, жидкостей и ядерной физики. Путь от микроописания к свойствам тел, состоящих из большого числа частиц, очень длинен. Приходится отбрасывать многие детали. Это приводит к моделям 4-го типа.

Эвристическая модель сохраняет лишь качественное подобие реальности и даёт предсказания только «по порядку величины». Типичный пример - приближение средней длины свободного пробега в кинетической теории. Оно даёт простые формулы для коэффициентов вязкости, диффузии, теплопроводности, согласующиеся с реальностью по порядку величины.

Но при построении новой физики далеко не сразу получается модель, дающая хотя бы качественное описание объекта - модель пятого типа. В этом случае часто используют модель по аналогии, отражающую действительность хоть в какой-нибудь черте.

Р. Пайерлс приводит историю использования аналогий в первой статье В. Гейзенберга о природе ядерных сил. «Это произошло после открытия нейтрона, и хотя сам В. Гейзенберг понимал, что можно описывать ядра состоящими из нейтронов и протонов, он не мог все же избавиться от мысли, что нейтрон должен в конечном счете состоять из протона и электрона. При этом возникала аналогия между взаимодействием в системе нейтрон - протон и взаимодействием атома водорода и протоном. Эта-то аналогия и привела его к заключению, что должны существовать обменные силы взаимодействия между нейтроном и протоном, которые аналогичны обменным силам в системе H − H , обусловленным переходом электрона между двумя протонами. … Позднее было все-таки доказано существование обменных сил взаимодействия между нейтроном и протоном, хотя ими не исчерпывалось полностью

взаимодействие между двумя частицами… Но, следуя все той же аналогии, В. Гейзенберг пришёл к заключению об отсутствии ядерных сил взаимодействия между двумя протонами и к постулированию отталкивания между двумя нейтронами. Оба последних вывода находятся в противоречии с данными более поздних исследований».

А. Эйнштейн был одним из великих мастеров мысленного эксперимента. Вот один из его экспериментов. Он был придуман в юности и, в конце концов, привел к построению специальной теории относительности. Предположим, что в классической физике мы движемся за световой волной со скоростью света. Мы будем наблюдать периодически меняющееся в пространстве и постоянное во времени электромагнитное поле. Согласно уравнениям Максвелла, этого быть не может. Отсюда юный Эйнштейн заключил: либо законы природы меняются при смене системы отсчета, либо скорость света не зависит от системы отсчета. Он выбрал второй - более красивый вариант. Другой знаменитый мысленный эксперимент Эйнштейна - Парадокс Эйнштейна - Подольского - Розена.

А вот и тип 8, широко распространенный в математических моделях биологических систем.

Это тоже мысленные эксперименты с воображаемыми сущностями, демонстрирующие, что предполагаемое явление согласуется с базовыми принципам и внутренне непротиворечиво. В этом основное отличие от моделей типа 7, которые вскрывают скрытые противоречия.

Один из самых знаменитых таких экспериментов - геометрия Лобачевского. Другой пример - массовое производство формально - кинетических моделей химических и биологических колебаний, автоволн и др. Парадокс Эйнштейна - Подольского - Розена был задуман как модель 7 типа, для демонстрации противоречивости квантовой механики. Совершенно незапланированным образом он со временем превратился в модель 8 типа - демонстрацию возможности квантовой телепортации информации.

Рассмотрим механическую систему, состоящую из пружины, закрепленной с одного конца, и груза массой m, прикрепленного к свободному концу пружины. Будем считать, что груз может двигаться только в направлении оси пружины. Построим математическую модель этой системы. Будем описывать состояние системы расстоянием x от центра груза до его положения равновесия. Опишем взаимодействие пружины и груза с помощью закона Гука после чего воспользуемся вторым законом Ньютона, чтобы выразить его в форме дифференциального уравнения:

где означает вторую производную от x по времени..

Полученное уравнение описывает математическую модель рассмотренной физической системы. Эта модель называется «гармоническим осциллятором».

По формальной классификации эта модель линейная, детерминисткая, динамическая, сосредоточенная, непрерывная. В процессе её построения мы сделали множество допущений, которые в реальности могут не выполняться.

По отношению к реальности это, чаще всего, модель типа 4 упрощение, поскольку опущены некоторые существенные универсальные особенности. В некотором приближении, такая модель достаточно хорошо описывает реальную механическую систему, поскольку

отброшенные факторы оказывают пренебрежимо малое влияние на её поведение. Однако модель можно уточнить, приняв во внимание какие-то из этих факторов. Это приведет к новой модели, с более широкой областью применимости.

Впрочем, при уточнении модели сложность её математического исследования может существенно возрасти и сделать модель фактически бесполезной. Зачастую более простая модель позволяет лучше и глубже исследовать реальную систему, чем более сложная.

Если применять модель гармонического осциллятора к объектам, далёким от физики, её содержательный статус может быть другим. Например, при приложении этой модели к биологическим популяциям, её следует отнести, скорее всего, к типу 6 аналогия.

Жёсткие и мягкие модели.

Гармонический осциллятор - пример так называемой «жёсткой» модели. Она получена в результате сильной идеализации реальной физической системы. Для решения вопроса о её применимости необходимо понять, насколько существенными являются факторы, которыми мы пренебрегли. Иными словами, нужно исследовать «мягкую» модель, получающуюся малым возмущением «жёсткой». Она может задаваться, например, следующим уравнением:

Здесь - некоторая функция, в которой может учитываться сила трения или зависимость коэффициента жёсткости пружины от степени её растяжения, ε - некоторый малый параметр. Явный вид функции f нас в данный момент не интересует. Если мы докажем, что поведение мягкой модели принципиально не отличается от поведения жёсткой, задача сведется к исследованию жёсткой модели. В противном случае применение результатов, полученных при изучении жёсткой модели, потребует дополнительных исследований. Например, решением уравнения гармонического осциллятора являются функции вида

То есть колебания с постоянной амплитудой. Следует ли из этого, что реальный осциллятор будет бесконечно долго колебаться с постоянной амплитудой? Нет, поскольку рассматривая систему со сколь угодно малым трением, мы получим затухающие колебания. Поведение системы качественно изменилось.

Если система сохраняет свое качественное поведение при малом возмущении, говорят, что она структурно устойчива. Гармонический осциллятор - пример структурно-неустойчивой системы. Тем не менее, эту модель можно применять для изучения процессов на ограниченных промежутках времени.

Универсальность моделей.

Важнейшие математические модели обычно обладают важным свойством универсальности: принципиально разные реальные явления могут описываться одной и той же математической моделью. Скажем, гармонический осциллятор описывает не только поведение груза на пружине, но и другие колебательные процессы, зачастую имеющие совершенно иную природу: малые колебания маятника, колебания уровня жидкости в U-образном сосуде или изменение силы тока в колебательном контуре. Таким образом, изучая одну математическую модель, мы изучаем сразу целый класс описываемых ею явлений. Именно этот изоморфизм законов, выражаемых математическими моделями в различных сегментах научного знания, подвиг Людвига фон Берталанфи на создание «Общей теории систем».

Прямая и обратная задачи математического моделирования

Существует множество задач, связанных с математическим моделированием. Во-первых, надо придумать основную схему моделируемого объекта, воспроизвести его в рамках идеализаций данной науки. Так, вагон поезда превращается в систему пластин и более сложных

тел из разных материалов, каждый материал задается как его стандартная механическая идеализация, после чего составляются уравнения, по дороге какие-то детали отбрасываются, как несущественные, производятся расчёты, сравниваются с измерениями, модель уточняется, и так далее. Однако для разработки технологий математического моделирования полезно разобрать этот процесс на основные составные элементы.

Традиционно выделяют два основных класса задач, связанных с математическими моделями: прямые и обратные.

Прямая задача: структура модели и все её параметры считаются известными, главная задача - провести исследование модели для извлечения полезного знания об объекте. Какую статическую нагрузку выдержит мост? Как он будет реагировать на динамическую нагрузку, как самолёт преодолеет звуковой барьер, не развалится ли он от флаттера, - вот типичные примеры прямой задачи. Постановка правильной прямой задачи требует специального мастерства. Если не заданы правильные вопросы, то мост может обрушиться, даже если была построена хорошая модель для его поведения. Так, в 1879 г. в Великобритании обрушился металлический мост через реку Тей, конструкторы которого построили модель моста, рассчитали его на 20-кратный запас прочности на действие полезной нагрузки, но забыли о постоянно дующих в тех местах ветрах. И через полтора года он рухнул.

В простейшем случае прямая задача очень проста и сводится к явному решению этого уравнения.

Обратная задача: известно множество возможных моделей, надо выбрать конкретную модель на основании дополнительных данных об объекте. Чаще всего, структура модели известна, и необходимо определить некоторые неизвестные параметры. Дополнительная информация может состоять в дополнительных эмпирических данных, или в требованиях к объекту. Дополнительные данные могут поступать независимо от процесса решения обратной задачи или быть результатом специально планируемого в ходе решения эксперимента.

Одним из первых примеров виртуозного решения обратной задачи с максимально полным использованием доступных данных был построенный И. Ньютоном метод восстановления сил трения по наблюдаемым затухающим колебаниям.

В качестве другого примера можно привести математическую статистику. Задача этой науки - разработка методов регистрации, описания и анализа данных наблюдений и экспериментов с целью построения вероятностных моделей массовых случайных явлений. Т.е. множество возможных моделей ограничено вероятностными моделями. В конкретных задачах множество моделей ограничено сильнее.

Компьютерные системы моделирования.

Для поддержки математического моделирования разработаны системы компьютерной математики, например, Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim и др. Они позволяют создавать формальные и блочные модели как простых, так и сложных процессов и устройств и легко менять параметры моделей в ходе моделирования. Блочные модели представлены блоками, набор и соединение которых задаются диаграммой модели.

Дополнительные примеры.

Скорость роста пропорциональна текущему размеру популяции. Она описывается дифференциальным уравнением

где α - некоторый параметр, определяемый разностью между рождаемостью и смертностью. Решением этого уравнения является экспоненциальная функция x = x0 e. Если рождаемость превосходит смертность, размер популяции неограниченно и очень быстро возрастает. Понятно, что в действительности этого не может происходить из-за ограниченности

ресурсов. При достижении некоторого критического объёма популяции модель перестает быть адекватной, поскольку не учитывает ограниченность ресурсов. Уточнением модели Мальтуса может служить логистическая модель, которая описывается дифференциальным уравнением Ферхюльста

где xs - «равновесный» размер популяции, при котором рождаемость в точности компенсируется смертностью. Размер популяции в такой модели стремится к равновесному значению xs , причем такое поведение структурно устойчиво.

Допустим, что на некоторой территории обитают два вида животных: кролики и лисы. Пусть число кроликов x, число лис y. Используя модель Мальтуса с необходимыми поправками, учитывающими поедание кроликов лисами, приходим к следующей системе, носящей имя модели Лотки - Вольтерра:

Эта система имеет равновесное состояние, когда число кроликов и лис постоянно. Отклонение от этого состояния приводит к колебаниям численности кроликов и лис, аналогичным колебаниям гармонического осциллятора. Как и в случае гармонического осциллятора, это поведение не является структурно устойчивым: малое изменение модели может привести к качественному изменению поведения. Например, равновесное состояние может стать устойчивым, и колебания численности будут затухать. Возможна и противоположная ситуация, когда любое малое отклонение от положения равновесия приведет к катастрофическим последствиям, вплоть до полного вымирания одного из видов. На вопрос о том, какой из этих сценариев реализуется, модель Вольтерра - Лотки ответа не дает: здесь требуются дополнительные исследования.

Основные признаки классификации и типы ММ, применяемые в САПР, даны в таблице 1.

Таблица 1.

По характеру отображаемых свойств объекта ММ делятся на структурные и функциональные .

Структурные ММ предназначены для отображения структурных свойств объекта. Различают структурные ММ топологические и геометрические .

В топологических ММ отображаются состав и взаимосвязи элементов объекта. Топологические модели могут иметь форму графов, таблиц (матриц), списков и т. п.

В геометрических ММ отображаются геометрические свойства объектов, в них дополнительно к сведениям о взаимном расположении элементов содержатся сведения о форме деталей. Геометрические ММ могут выражаться совокупностью уравнений линий и поверхностей; алгебрологических соотношений, описывающих области, составляющие тело объекта; графами и списками, отображающими конструкции из типовых конструктивных элементов и т. п.

Функциональные ММ предназначены для отображения физических или информационных процессов, протекающих в объекте при его функционировании или изготовлении. Функциональные ММ представляют собой системы уравнений, связывающих фазовые переменные, внутренние, внешние и выходные параметры, т.е. алгоритм вычисления вектора выходных параметров Y при заданных векторах параметров элементов X и внешних параметров Q .

Количество иерархических уровней при моделировании определяется сложностью проектируемых объектов и возможностью средств проектирования. Однако для большинства предметных областей можно отнести имеющиеся иерархические уровни к одному из трех обобщенных уровней, называемых далее микро -, макро - и метауровнями .

В зависимости от места в иерархии описаний математические модели делятся на ММ, относящиеся к микро -, макро - и метауровням .

Особенностью ММ на микроуровне является отражение физических процессов, протекающих в непрерывных пространстве и времени. Типичные ММ на микроуровне - дифференциальные уравнения в частных производных (ДУЧП).

На макроуровне используют укрупненную дискретизацию пространства по функциональному признаку, что приводит к представлению ММ на этом уровне в виде систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Системы ОДУ являются универсальными моделями на макроуровне, пригодными для анализа как динамических, так и установившихся состояний объектов. Модели для установившихся режимов можно также представить и виде систем алгебраических уравнений. Порядок системы уравнений зависит от числа выделенных элементов объекта. Если порядок системы приближается к 10 3 , то оперирование моделью становится затруднительным и поэтому необходимо переходить к представлениям на метауровне .

На метауровне в качестве элементов принимают достаточно сложные совокупности деталей. Метауровень характеризуется большим разнообразием типов используемых ММ. Для многих объектов ММ на метауровне по-прежнему представляются системами ОДУ. Однако так как в моделях не описываются внутренние для элементов фазовые переменные, а фигурируют только фазовые переменные, относящиеся к взаимным связям, элементов, то укрупнение элементов на метауровне означает получение ММ приемлемой размерности для существенно более сложных объектов, чем на макроуровне.

В ряде предметных областей удается использовать специфические особенности функционирования объектов для упрощения ММ. Примером являются электронные устройства цифровой автоматики, в которых возможно применять дискретное представление таких фазовых переменных, как напряжения и токи. В результате ММ становится системой логических уравнений, описывающих процессы преобразования сигналов. Такие логические модели существенно более экономичны, чем модели электрические, описывающие изменения напряжений и сил токов как непрерывных функций времени. Важный класс ММ на метауровне составляют модели массового обслуживания , применяемые для описания процессов функционирования информационных и вычислительных систем, производственных участков, линий и цехов.

Структурные модели также делятся на модели различных иерархических уровней. При этом на низших иерархических уровнях преобладает использование геометрических моделей, на высших иерархических уровнях используются топологические модели.

По степени детализации описания в пределах каждого иерархического уровня выделяют полные ММ и макромодели .

Полная ММ - модель, в которой фигурируют фазовые переменные, характеризующие состояния всех имеющихся межэлементных связей (т. е. состояния всех элементов проектируемого объекта), описывающая не только процессы на внешних выводах моделируемого объекта, но и внутренние процессы объекта.

Макромодель - ММ, в которой отображаются состояния значительно меньшего числа межэлементных связей, что соответствует описанию объекта при укрупненном выделении элементов.

Примечание. Понятия «полная ММ» и «макромодель» относительны и обычно используются для различения двух моделей, отображающих различную степень детальности описания свойств объекта.

По способу представления свойств объекта функциональные ММ делятся на аналитические и алгоритмические .

Аналитические ММ представляют собой явные выражения выходных параметров как функций входных и внутренних параметров. Такие ММ характеризуются высокой экономичностью, но получение явного выражения удается лишь в отдельных частных случаях, как правило, при принятии существенных допущений и ограничений, снижающих точность и сужающих область адекватности модели.

Алгоритмические ММ выражают связи выходных параметров с параметрами внутренними и внешними в форме алгоритма.

Имитационная ММ - алгоритмическая модель, отражающая поведение исследуемого объекта во времени при задании внешних воздействий на объект. Примерами имитационных ММ могут служить модели динамических объектов в виде систем ОДУ и модели систем массового обслуживания, заданные в алгоритмической форме.

Обычно в имитационных моделях фигурируют фазовые переменные. Так, на макроуровне имитационные модели представляют собой системы алгебро-дифференциальных уравнений:

где V - вектор фазовых переменных; t - время; V o - вектор начальных условий. К примерам фазовых переменных можно отнести токи и напряжения в электрических системах, силы и скорости - в механических, давления и расходы - в гидравлических.

Выходные параметры систем могут быть двух типов. Во-первых, это параметры-функционалы, т. е. функционалы зависимостей V(t ) в случае использования (1). Примеры таких параметров: амплитуды сигналов, временные задержки, мощности рассеивания и т. п. Во-вторых, это параметры, характеризующие способность проектируемого объекта работать при определенных внешних условиях. Эти выходные параметры являются граничными значениями диапазонов внешних переменных, в которых сохраняется работоспособность объекта.

При проектировании технических объектов можно выделить две основные группы процедур: анализ и синтез. Для синтеза характерно использование структурных моделей, для анализа - использование функциональных моделей. К математическому обеспечению анализа относятся математические модели, численные методы, алгоритмы выполнения проектных процедур. Компоненты МО определяются базовым математическим аппаратом, специфичным для каждого из иерархических уровней проектирования.

В САПР анализ выполняется математическим моделированием.

Математическое моделирование - процесс создания модели и оперирование ею с целью получения сведений о реальном объекте.

Моделирование большинства технических объектов можно выполнять на микро-, макро и метауровнях, различающихся степенью детализации рассмотрения процессов в объекте.

микроуровне , называемого распределенным , является система дифференциальных уравнений в частных производных (ДУПЧ), описывающая процессы в сплошной среде с заданными краевыми условиями. Независимыми переменными являются пространственные координаты и время. К моделям на микроуровне относятся многие сравнения математической физики. Объектами исследования являются поля физических величин, что требуется при анализе прочности строительных сооружений или машиностроительных деталей, исследовании процессов в жидких средах, моделировании концентраций и потоков частиц в электронных приборах и т. п. С помощью этих уравнений рассчитываются поля механических напряжений и деформаций, электрических потенциалов, давлений, температур и т.д. Возможности применения ММ в виде ДУЧП ограничены отдельными деталями, попытки анализировать с их помощью процессы в многокомпонентных средах, сборочных единицах, электронных схемах не могут быть успешными из-за чрезмерного роста затрат машинного времени и памяти.

Система дифференциальных уравнений, как правило, известна (уравнения Ламе для механики упругих сред; уравнения Навье-Стокса для гидравлики; уравнения теплопроводности для термодинамики и т.д.), но точное решение ее удается получить лишь для частных случаев, поэтому первая задача, возникающая при моделировании, состоит в построении приближенной дискретной модели. Для этого используются методы конечных разностей и интегральных граничных уравнений, одним из вариантов последнего является метод граничных элементов.

Число совместно исследуемых различных сред (число деталей, слоев материала, фаз агрегатного состояния) в практически используемых моделях микроуровня не может быть большим ввиду сложностей вычислительного характера. Резко снизить вычислительные затраты в многокомпонентных средах можно, только применив иной подход к моделированию, основанный на принятии определенных допущений.

Допущение, выражаемое дискретизацией пространства, позволяет перейти к моделям макроуровня, называемым с осредоточенными . Математической моделью технического объекта на макроуровне является система алгебраических и обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) с заданными начальными условиями.

В этих уравнениях независимой переменной является время t , а вектор зависимых переменных V составляют фазовые переменные, характеризующие состояние укрупненных элементов дискретизированного пространства. Такими переменными являются силы и скорости механических систем, напряжения и силы тока электрических систем, давления и расходы гидравлических и пневматических систем и т.п.

В основе ММ лежат компонентные уравнения отдельных элементов и топологические уравнения, вид которых определяется связями между элементами. Предпосылкой создания единого математического и программного обеспечения анализа на макроуровне являются аналогии компонентных и топологических уравнений физически однородных подсистем, из которых состоит технический объект. Для получения топологических уравнений используются формальные методы.

Основными методами получения ММ объектов на макроуровне являются:

Обобщенный метод,

Табличный метод,

Узловой метод,

Метод переменных состояний.

Методы отличаются друг от друга видом и размерностью получаемой системы уравнений, способом дискретизации компонентных уравнений реактивных ветвей, допустимыми типами зависимых ветвей. Упрощение описания отдельных компонентов (деталей) позволяет исследовать модели процессов в устройствах, приборах, механических узлах, число компонентов в которых может доходить до нескольких тысяч. Для сложных технических объектов размерность ММ становится чрезмерно высокой, и для моделирования приходится переходить на метауровень.

На метауровне моделируют в основном две категории технических объектов: объекты, являющиеся предметом исследований теории автоматического управления, и объекты, являющиеся предметом теории массового обслуживания. Для первой категории объектов возможно использование математического аппарата макроуровня, для второй категории объектов используют методы событийного моделирования.

Когда число компонентов в исследуемой системе превышает некоторый порог, сложность модели системы на макроуровне вновь становится чрезмерной. Принимая соответствующие допущения, переходят на функционально-логический уровень, где используется аппарат передаточных функций для исследования аналоговых (непрерывных) процессов или аппарат математической логики и конечных автоматов, если объектом исследования является дискретный процесс.

Для исследования еще более сложных объектов (производственные предприятия и их объединения, вычислительные системы и сети, социальные системы и др.) применяют аппарат теории массового обслуживания, возможно использование и некоторых других подходов, например сетей Петри. Эти модели относятся к системному уровню моделирования.

Как систему уравнений, или арифметических соотношений, или геометрических фигур, или комбинацию того и другого, исследование которых средствами математики должно ответить на поставленные вопросы о свойствах некоторой совокупности свойств объекта реального мира , как совокупность математических соотношений, уравнений, неравенств, описывающих основные закономерности, присущие изучаемому процессу, объекту или системе .

В автоматизированных системах управления математическая модель используется для определения алгоритма функционирования контроллера. Этот алгоритм определяет, как следует изменять управляющее воздействие в зависимости от изменения задающего для того, чтобы была достигнута цель управления.

Классификация моделей

Формальная классификация моделей

Формальная классификация моделей основывается на классификации используемых математических средств. Часто строится в форме дихотомий . Например, один из популярных наборов дихотомий :

и так далее. Каждая построенная модель является линейной или нелинейной, детерминированной или стохастической, … Естественно, что возможны и смешанные типы: в одном отношении сосредоточенные (по части параметров), в другом - распределённые модели и т. д.

Классификация по способу представления объекта

Наряду с формальной классификацией, модели различаются по способу представления объекта:

• Структурные или функциональные модели

Модели-гипотезы в науке не могут быть доказаны раз и навсегда, можно лишь говорить об их опровержении или неопровержении в результате эксперимента .

Если модель первого типа построена, то это означает, что она временно признаётся за истину и можно сконцентрироваться на других проблемах. Однако это не может быть точкой в исследованиях, но только вре́менной паузой: статус модели первого типа может быть только вре́менным.

Феноменологическая модель

Второй тип - феноменологическая модель («ведем себя так, как если бы…» ), содержит механизм для описания явления, хотя этот механизм недостаточно убедителен, не может быть достаточно подтверждён имеющимися данными или плохо согласуется с имеющимися теориями и накопленным знанием об объекте. Поэтому феноменологические модели имеют статус вре́менных решений. Считается, что ответ всё ещё неизвестен, и необходимо продолжить поиск «истинных механизмов». Ко второму типу Пайерлс относит, например, модели теплорода и кварковую модель элементарных частиц.

Роль модели в исследовании может меняться со временем, может случиться так, что новые данные и теории подтвердят феноменологические модели и те будут повышены до статуса гипотезы. Аналогично новое знание может постепенно прийти в противоречие с моделями-гипотезами первого типа, и те могут быть переведены во второй. Так, кварковая модель постепенно переходит в разряд гипотез; атомизм в физике возник как временное решение, но с ходом истории перешёл в первый тип. А вот модели эфира проделали путь от типа 1 к типу 2, а сейчас находятся вне науки.

Идея упрощения очень популярна при построении моделей. Но упрощение бывает разным. Пайерлс выделяет три типа упрощений в моделировании.

Приближение

Третий тип моделей - приближения («что-то считаем очень большим или очень малым» ). Если можно построить уравнения, описывающие исследуемую систему, то это не значит, что их можно решить даже с помощью компьютера. Общепринятый приём в этом случае - использование приближений (моделей типа 3). Среди них модели линейного отклика . Уравнения заменяются линейными. Стандартный пример - закон Ома .

Мысленный эксперимент

где x ¨ {\displaystyle {\ddot {x}}} означает вторую производную от x {\displaystyle x} по времени: x ¨ = d 2 x d t 2 {\displaystyle {\ddot {x}}={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}} .

Полученное уравнение описывает математическую модель рассмотренной физической системы. Эта модель называется «гармоническим осциллятором ».

По формальной классификации эта модель линейная, детерминистская, динамическая, сосредоточенная, непрерывная. В процессе её построения мы сделали множество допущений (об отсутствии внешних сил, отсутствии трения, малости отклонений и т. д.), которые в реальности могут не выполняться.

По отношению к реальности это, чаще всего, модель типа 4 упрощение («опустим для ясности некоторые детали»), поскольку опущены некоторые существенные универсальные особенности (например, диссипация). В некотором приближении (скажем, пока отклонение груза от равновесия невелико, при малом трении, в течение не слишком большого времени и при соблюдении некоторых других условий), такая модель достаточно хорошо описывает реальную механическую систему, поскольку отброшенные факторы оказывают пренебрежимо малое влияние на её поведение. Однако модель можно уточнить, приняв во внимание какие-то из этих факторов. Это приведёт к новой модели, с более широкой (хотя и снова ограниченной) областью применимости.

Впрочем, при уточнении модели сложность её математического исследования может существенно возрасти и сделать модель фактически бесполезной. Зачастую более простая модель позволяет лучше и глубже исследовать реальную систему, чем более сложная (и, формально, «более правильная»).

Если применять модель гармонического осциллятора к объектам, далёким от физики, её содержательный статус может быть другим. Например, при приложении этой модели к биологическим популяциям её следует отнести, скорее всего, к типу 6 аналогия («учтём только некоторые особенности»).

Жёсткие и мягкие модели

Гармонический осциллятор - пример так называемой «жёсткой» модели. Она получена в результате сильной идеализации реальной физической системы. Свойства гармонического осциллятора качественно изменяются малыми возмущениями. Например, если добавить в правую часть малое слагаемое − ε x ˙ {\displaystyle -\varepsilon {\dot {x}}} (трение) ( ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} - некоторый малый параметр), то получим экспоненциально затухающие колебания, если изменить знак добавочного слагаемого (ε x ˙) {\displaystyle (\varepsilon {\dot {x}})} то трение превратится в накачку и амплитуда колебаний будет экспоненциально возрастать.

Для решения вопроса о применимости жёсткой модели необходимо понять, насколько существенными являются факторы, которыми мы пренебрегли. Нужно исследовать мягкие модели, получающиеся малым возмущением жёсткой. Для гармонического осциллятора они могут задаваться, например, следующим уравнением:

Здесь f (x , x ˙) {\displaystyle f(x,{\dot {x}})} - некоторая функция, в которой может учитываться сила трения или зависимость коэффициента жёсткости пружины от степени её растяжения. Явный вид функции f {\displaystyle f} нас в данный момент не интересует.

Если мы докажем, что поведение мягкой модели принципиально не отличается от поведения жёсткой (вне зависимости от явного вида возмущающих факторов, если они достаточно малы), задача сведётся к исследованию жёсткой модели. В противном случае применение результатов, полученных при изучении жёсткой модели, потребует дополнительных исследований.

Если система сохраняет своё качественное поведение при малом возмущении, говорят, что она структурно устойчива. Гармонический осциллятор - пример структурно-неустойчивой (негрубой) системы. Тем не менее, эту модель можно применять для изучения процессов на ограниченных промежутках времени.

Универсальность моделей

Важнейшие математические модели обычно обладают важным свойством универсальности : принципиально разные реальные явления могут описываться одной и той же математической моделью. Скажем, гармонический осциллятор описывает не только поведение груза на пружине, но и другие колебательные процессы, зачастую имеющие совершенно иную природу: малые колебания маятника, колебания уровня жидкости в U {\displaystyle U} -образном сосуде или изменение силы тока в колебательном контуре. Таким образом, изучая одну математическую модель, мы изучаем сразу целый класс описываемых ею явлений. Именно этот изоморфизм законов, выражаемых математическими моделями в различных сегментах научного знания, подвиг Людвига фон Берталанфи на создание «общей теории систем ».

Прямая и обратная задачи математического моделирования

Существует множество задач, связанных с математическим моделированием. Во-первых, надо придумать основную схему моделируемого объекта, воспроизвести его в рамках идеализаций данной науки. Так, вагон поезда превращается в систему пластин и более сложных тел из разных материалов, каждый материал задаётся как его стандартная механическая идеализация (плотность, модули упругости, стандартные прочностные характеристики), после чего составляются уравнения, по дороге какие-то детали отбрасываются как несущественные, производятся расчёты, сравниваются с измерениями, модель уточняется, и так далее. Однако для разработки технологий математического моделирования полезно разобрать этот процесс на основные составные элементы.

Традиционно выделяют два основных класса задач, связанных с математическими моделями: прямые и обратные.

Прямая задача : структура модели и все её параметры считаются известными, главная задача - провести исследование модели для извлечения полезного знания об объекте. Какую статическую нагрузку выдержит мост? Как он будет реагировать на динамическую нагрузку (например, на марш роты солдат, или на прохождение поезда на различной скорости), как самолёт преодолеет звуковой барьер, не развалится ли он от флаттера , - вот типичные примеры прямой задачи. Постановка правильной прямой задачи (задание правильного вопроса) требует специального мастерства. Если не заданы правильные вопросы, то мост может обрушиться, даже если была построена хорошая модель для его поведения. Так, в 1879 г. в Великобритании обрушился металлический Железнодорожный мост через Ферт-оф-Тей , конструкторы которого построили модель моста, рассчитали его на 20-кратный запас прочности на действие полезной нагрузки, но забыли о постоянно дующих в тех местах ветрах. И через полтора года он рухнул.

В простейшем случае (одно уравнение осциллятора, например) прямая задача очень проста и сводится к явному решению этого уравнения.

Обратная задача : известно множество возможных моделей, надо выбрать конкретную модель на основании дополнительных данных об объекте. Чаще всего структура модели известна, и необходимо определить некоторые неизвестные параметры. Дополнительная информация может состоять в дополнительных эмпирических данных, или в требованиях к объекту (задача проектирования ). Дополнительные данные могут поступать независимо от процесса решения обратной задачи (пассивное наблюдение ) или быть результатом специально планируемого в ходе решения эксперимента (активное наблюдение ).

Одним из первых примеров виртуозного решения обратной задачи с максимально полным использованием доступных данных был построенный Ньютоном метод восстановления сил трения по наблюдаемым затухающим колебаниям.

В качестве другого примера можно привести математическую статистику . Задача этой науки - разработка методов регистрации, описания и анализа данных наблюдений и экспериментов с целью построения вероятностных моделей массовых случайных явлений . То есть множество возможных моделей ограничено вероятностными моделями. В конкретных задачах множество моделей ограничено сильнее.

Компьютерные системы моделирования

Для поддержки математического моделирования разработаны системы компьютерной математики, например, Maple , Mathematica , Mathcad , MATLAB , VisSim и др. Они позволяют создавать формальные и блочные модели как простых, так и сложных процессов и устройств и легко менять параметры моделей в ходе моделирования. Блочные модели представлены блоками (чаще всего графическими), набор и соединение которых задаются диаграммой модели.

Дополнительные примеры

Модель Мальтуса

Согласно модели, предложенной Мальтусом , скорость роста пропорциональна текущему размеру популяции , то есть описывается дифференциальным уравнением:

где α {\displaystyle \alpha } - некоторый параметр, определяемый разностью между рождаемостью и смертностью. Решением этого уравнения является экспоненциальная функция x (t) = x 0 e α t {\displaystyle x(t)=x_{0}e^{\alpha t}} . Если рождаемость превосходит смертность ( α > 0 {\displaystyle \alpha >0} ), размер популяции неограниченно и очень быстро возрастает. В действительности этого не может происходить из-за ограниченности ресурсов. При достижении некоторого критического объёма популяции модель перестаёт быть адекватной, поскольку не учитывает ограниченность ресурсов. Уточнением модели Мальтуса может служить логистическая модель , которая описывается дифференциальным уравнением Ферхюльста :

где - «равновесный» размер популяции, при котором рождаемость в точности компенсируется смертностью. Размер популяции в такой модели стремится к равновесному значению x s {\displaystyle x_{s}} , причём такое поведение структурно устойчиво.

Система хищник-жертва

Допустим, что на некоторой территории обитают два вида животных : кролики (питающиеся растениями) и лисы (питающиеся кроликами). Пусть число кроликов x {\displaystyle x} , число лис y {\displaystyle y} . Используя модель Мальтуса с необходимыми поправками, учитывающими поедание кроликов лисами, приходим к следующей системе, носящей имя модели Лотки - Вольтерры :

Поведение данной системы не является структурно устойчивым : малое изменение параметров модели (например, учитывающее ограниченность ресурсов, необходимых кроликам) может привести к качественному изменению поведения .

При некоторых значениях параметров эта система имеет равновесное состояние , когда число кроликов и лис постоянно. Отклонение от этого состояния приводит к постепенно затухающим колебаниям численности кроликов и лис.

Возможна и противоположная ситуация, когда любое малое отклонение от положения равновесия приведёт к катастрофическим последствиям, вплоть до полного вымирания одного из видов. На вопрос о том, какой из этих сценариев реализуется, модель Вольтерры - Лотки ответа не даёт: здесь требуются дополнительные исследования.

См. также

Примечания

1. «A mathematical representation of reality»(Encyclopaedia Britanica)
2. Новик И. Б. , О философских вопросах кибернетического моделирования. М., Знание, 1964.
3. Советов Б. Я., Яковлев С. А. , Моделирование систем: Учеб. для вузов - 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Высш. шк., 2001. - 343 с. ISBN 5-06-003860-2
4. Самарский А. А. , Михайлов А. П. Математическое моделирование. Идеи. Методы. Примеры . - 2-е изд., испр. - М. : Физматлит, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X .
5. Мышкис А. Д. , Элементы теории математических моделей. - 3-е изд., испр. - М.: КомКнига, 2007. - 192 с ISBN 978-5-484-00953-4
6. Севостьянов, А. Г. Моделирование технологических процессов: учебник / А. Г. Севостьянов, П. А. Севостьянов. - М.: Легкая и пищевая промышленность, 1984. - 344 с.
7. Ротач В.Я. Теория автоматического управления. - 1-е. - М. : ЗАО "Издательский дом МЭИ", 2008. - С. 333. - 9 с. - ISBN 978-5-383-00326-8 .
8. Model Reduction and Coarse-Graining Approaches for Multiscale Phenomena (англ.) . Springer, Complexity series, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII+562 pp. ISBN 3-540-35885-4 . Дата обращения 18 июня 2013. Архивировано 18 июня 2013 года.
9. «Теория считается линейной или нелинейной в зависимости от того, какой - линейный или нелинейный - математический аппарат, какие - линейные или нелинейные - математические модели она использует. … ез отрицание последней. Современный физик, доведись ему заново создавать определение столь важной сущности, как нелинейность, скорее всего, поступил бы иначе, и, отдав предпочтение нелинейности как более важной и распространенной из двух противоположностей, определил бы линейность как „не нелинейность“.» Данилов Ю. А. , Лекции по нелинейной динамике. Элементарное введение. Серия «Синергетика: от прошлого к будущему». Изд.2. - M.: URSS, 2006. - 208 с. ISBN 5-484-00183-8
10. «Динамические системы, моделируемые конечным числом обыкновенных дифференциальных уравнений, называют сосредоточенными или точечными системами. Они описываются с помощью конечномерного фазового пространства и характеризуются конечным числом степеней свободы. Одна и та же система в различных условиях может рассматриваться либо как сосредоточенная, либо как распределенная. Математические модели распределенных систем - это дифференциальные уравнения в частных производных, интегральные уравнения или обыкновенные уравнения с запаздывающим аргументом. Число степеней свободы распределенной системы бесконечно, и требуется бесконечное число данных для определения её состояния.»
    Анищенко В. С. , Динамические системы, Соросовский образовательный журнал, 1997, № 11, с. 77-84.
11. «В зависимости от характера изучаемых процессов в системе S все виды моделирования могут быть разделены на детерминированные и стохастические, статические и динамические, дискретные, непрерывные и дискретно-непрерывные. Детерминированное моделирование отображает детерминированные процессы, то есть процессы, в которых предполагается отсутствие всяких случайных воздействий; стохастическое моделирование отображает вероятностные процессы и события. … Статическое моделирование служит для описания поведения объекта в какой-либо момент времени, а динамическое моделирование отражает поведение объекта во времени. Дискретное моделирование служит для описания процессов, которые предполагаются дискретными, соответственно непрерывное моделирование позволяет отразить непрерывные процессы в системах, а дискретно-непрерывное моделирование используется для случаев, когда хотят выделить наличие как дискретных, так и непрерывных процессов.»
    Советов Б. Я., Яковлев С. А. , Моделирование систем: Учеб. для вузов - 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Высш. шк., 2001. - 343 с. ISBN 5-06-003860-2
12. Обычно в математической модели отражается структура (устройство) моделируемого объекта, существенные для целей исследования свойства и взаимосвязи компонентов этого объекта; такая модель называется структурной. Если же модель отражает только то, как объект функционирует - например, как он реагирует на внешние воздействия,- то она называется функциональной или, образно, чёрным ящиком. Возможны и модели комбинированного типа. Мышкис А. Д. , Элементы теории математических моделей. - 3-е изд., испр. - М.: КомКнига, 2007. - 192 с

Основные этапы

Для обсуждения и обоснования основных подходов к разработке проблем математического моделирования технических устройств и процессов в них представляется целесообразным предварительно рассмотреть условную схему (рис. 1.1), опре­деляющую последовательность проведения отдельных этапов общей процедуры Исходной позицией этой схемы служит технический объект (ТО), под которым будем понимать конкретное техническое устройство, его агрегат или узел, систему устройств, процесс, явление или отдельную ситуацию в какой-либо системе или устройстве.

Рис. 1.1

На первом этапе осуществляют неформальный переход от рассматриваемого (разрабатываемого или существующего) ТО к его расчетной схеме (PC). При этом в зависимости от на­правленности вычислительного эксперимента и его конечной цели акцентируют те свойства, условия работы и особенности ТО, которые вместе с характеризующими их параметрами должны найти отражение в PC, и, наоборот, аргументируют допущения и упрощения, позволяющие не учитывать в PC те качества ТО, влияние которых предполагают в рассматриваемом случае несущественным. Иногда вместо PC используют термин содержательная модель* ТО, а в некоторых случаях - концептуальная модель. В сложившихся инженерных дисциплинах (например, в сопротивлении материалов, электротехнике и электронике) помимо описательной (вербальной) информации для характеристики PC разработаны специальные приемы и символы наглядного графического изображения. По ряду новых направлений развития техники подобная символика находится в стадии форми­рования.

При разработке новых ТО успешное проведение первого этапа в значительной мере зависит от профессионального уров­ня инженера, его творческого потенциала и интуиции. Полнота и правильность учета в PC свойств ТО, существенных с точки зрения поставленной цели исследования, являются основной предпосылкой получения в дальнейшем достоверных резульатов математического моделирования. И наоборот, сильная идеализация ТО ради получения простой PC может обесценить все последующие этапы исследования.

Надо сказать, что для некоторых типовых PC существуют банки ММ, что упрощает проведение второго этапа. Более того, одна и та же ММ может соответствовать PC из различных предметных областей. Однако при разработке новых ТО часто не удается ограничиться применением типовых PC и отвечающих им уже построенных ММ. Создание новых ММ или модификация существующих должны опираться на достаточно глубокую математическую подготовку и владение математи­кой как универсальным языком науки.

На третьем этапе проводят качественный и оценочный ко­личественный анализ построенной ММ. При этом могут быть выявлены противоречия, ликвидация которых потребует уточ­нения или пересмотра PC (штриховая линия на рис. 1.1). Количественные оценки могут дать основания упростить модель, исключив из рассмотрения некоторые параметры, соотношения или их отдельные составляющие, несмотря на то что влияние описываемых ими факторов учтено в PC. В большинстве случа­ев, принимая дополнительные по отношению к PC допущения, полезно построить такой упрощенный вариант ММ, который позволял бы получить или привлечь известное точное решение. Это решение затем можно использовать для сравнения при те­стировании результатов на последующих этапах. В некоторых случаях удается построить несколько ММ для одного и того же ТО, отличающихся различным уровнем упрощения. В этом случае говорят об иерархии ММ (греческое слово происходит от - священный и - власть и в данном случае означает упорядочение ММ по признаку их сложности и полноты).

Построение иерархии ММ связано с различной детализацией свойств изучаемого ТО. Сравнение результатов исследования различных ММ может существенно расширить и обогатить знания об этом ТО. Кроме того, такое сравнение позволяет оценить достоверность результатов последующего вычислитель­ного эксперимента: если более простая ММ правильно отражает некоторые свойства ТО, то результаты исследования этих свойств должны быть близки к результатам, полученным при использовании более полной и сложной ММ.

Итог анализа на рассматриваемом этапе - это обоснованный выбор рабочей ММ ТО, которая подлежит в дальнейшем детальному количественному анализу. Успех в проведении тре­тьего этапа зависит, как правило, от глубины понимания связи отдельных составляющих ММ со свойствами ТО, нашедшими отражение в его PC, что предполагает органическое сочетание владения математикой и инженерными знаниями в конкретной предметной области.

Четвертый этап состоит в обоснованном выборе метода количественного анализа ММ, в разработке эффективного алгоритма вычислительного эксперимента, а пятый этап - в создании работоспособной программы, реализующей этот алгоритм средствами вычислительной техники. Для успешного проведения четвертого этапа необходимо владеть арсеналом современных методов вычислительной математики, а при математическом моделировании довольно сложных ТО выполнение пятого этапа требует профессиональной подготовки в области программирования на ЭВМ.

Получаемые на шестом этапе (в итоге работы программы) результаты вычислений должны прежде всего пройти тестирование путем сопоставления с данными количественного анализа упрощенного варианта ММ рассматриваемого ТО. Тестирование может выявить недочеты как в программе, так и в алгоритме и потребовать доработки программы или же модификации и алгоритма и программы. Анализ результатов вычислений и их инженерная интерпретация могут вызвать необходимость в корректировке PC и соответствующей ММ. После устранения всех выявленных недочетов триаду „модель - алгоритм - программа" можно использовать в качестве рабочего инструмента для проведения вычислительного эксперимента и выработки на основе получаемой количественной информации практических рекомендаций, направленных на совершенствование ТО, что составляет содержание седьмого, завершающего „технологический цикл" этапа математического моделирования.

Представленная последовательность этапов носит общий и универсальный характер, хотя в некоторых конкретных случаях она может и несколько видоизменяться. Если при разработке ТО можно использовать типовые PC и ММ, то отпадает необходимость в выполнении ряда этапов, а при наличии и соответствующего программного комплекса процесс вычислительного эксперимента становится в значительной степени автоматизированным. Однако математическое моделирование ТО, не имеющих близких прототипов, как правило, связано с проведением всех этапов описанного „технологического цикла".

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

Из последовательности основных этапов математического моделирования (см. рис. 1.1) следует, что определяющую роль в нем играет математическая модель (ММ) изучаемого технического объекта. Поэтому прежде всего следует уделить внимание основным свойствам ММ и требованиям к ней, а также классификации ММ.

2.1. Понятие математической модели

Понятие математической модели (ММ), как и ряд других понятий, используемых в математическом моделировании, не имеет строгого формального определения. Тем не менее в это понятие вкладывают вполне конкретное содержание, с которым, в частности, тесно связано применение математики в инженерной практике. Более того, такие научные дисциплины, как механика, физика и их многочисленные разделы, являются, по существу, упорядоченными множествами ММ, построение которых сопровождается теоретическим обоснованием адекватного отражения этими моделями свойств рассматриваемых процессов и явлений. Именно посредством ММ научные дисциплины взаимодействуют с математикой.

Этапы развития многих естественно-научных направлений в познании законов природы и в совершенствовании техники - это построение последовательности все более точных и более полных ММ изучаемых процессов и явлений. Однако история науки знает не только случаи последовательного уточнения той или иной ММ, но и случаи отказа от некоторых ММ вследствие расхождений прогнозируемых ими результатов с реальностью.

Отвечающая реальности (адекватная) ММ является, как правило, большим научным достижением. Она позволяет провести детальное исследование изучаемого объекта и дать на­дежный прогноз его поведения в различных условиях. Но за адекватность ММ нередко приходится расплачиваться ее усложнением, что вызывает трудности при ее использовании. В этом случае на помощь математике и приходит современная вычислительная техника, существенно расширившая класс ММ, допускающих исчерпывающий количественный анализ.

Одни и те же ММ находят подчас совершенно различные приложения. Известно, например, что закон Ньютона притяжения двух материальных точек и закон взаимодействия двух точечных электрических зарядов при соответствующем выборе единиц измерения физических величин можно выразить одинаковыми формулами. При помощи одной и той же ММ, содержащей уравнение Пуассона

где - дифференциальный оператор Лапласа, а - искомая и заданная функции положения точки некоторой области V, можно изучать установившиеся процессы течения жидкости и распространения теплоты, распределение электрического потенциала, деформацию мембраны, механические напряжения при кручении бруса, фильтрацию нефти в нефтеносном слое или влаги в почве, распространение какой-либо примеси в воздухе или эпидемии в регионе. В каждой из перечисленных задач функции приобретают свой смысл, но их связь описывает общее для этих задач уравнение (2.1).

Приведенные примеры характеризуют свойство универсальности ММ. Благодаря этому свойству возникает „родство" между различными отраслями знаний, что ускоряет их совместное развитие. Такую общность и универсальность ММ можно объяснить тем, что в математике используют абстрактные основополагающие понятия, немногочисленные, но весьма емкие по содер­жанию. Это позволяет конкретные факты из самых различных областей знаний рассматривать как проявление этих понятий и отношений между ними. Совокупность таких понятий и отношений, выраженных при помощи системы математических символов и обозначений и отражающих некоторые свойства изучаемого объекта, и называют математической моделью этого объекта. В данном случае математика выступает, по существу, в роли универсального языка науки. Его универсальность французский математик Анри Пуанкаре (1854-1912) определил всего одной фразой: „Математика - это искусство называть разные вещи одним и тем же именем".

2.2. Структура математической модели

В достаточно общем случае изучаемый технический объект (ТО) количественно можно охарактеризовать векторами внешних, внутренних и выходных параметров соответственно. Одни и те же физические, механические или информационные характеристики ТО в моделях различного уровня и содержания могут выполнять роль как внешних или внутренних, так и выходных параметров.

Например, для электронного усилителя выходными параметрами являются коэффициент усиления, полоса частот пропускаемых сигналов, входное сопротивление, рассеиваемая мощность, внешними - сопротивление и емкость нагрузки, напряжения источников питания, температура окружающей среды, а внутренними - сопротивления резисторов, емкости конденсаторов, характеристики транзисторов* 2 . Но если в качестве ТО рассматривать отдельно взятый транзистор, то такие его характеристики, как отпирающее напряжение и коллекторный ток, следует уже отнести к его выходным параметрам, а в качестве внешних надо будет рассматривать токи и напряжения, задаваемые коммутирующими с ним элементами усилителя.

При создании ТО значения выходных параметров или диа­пазоны их возможного изменения оговаривают в техническом задании на разработку ТО, тогда как внешние параметры ха­рактеризуют условия его функционирования.

В сравнительно простом случае математическая модель (ММ) ТО может представлять собой соотношение

где - векторная функция векторного аргумента. Модель в виде (2.2) позволяет легко вычислять выходные параметры по задаваемым значениям внешних и внутренних параметров, т.е. решать так называемую прямую задачу. В инженерной практике решение прямой задачи часто называют поверочным расчетом. При создании ТО возникает необходимость решать более сложную так называемую обратную задачу: по обусловленным техническим заданием на проектирование ТО значениям внешних и выходных параметров находить его внутренние параметры. В инженерной практике решению обратной задачи соответствует так называемый проектировочный расчет, часто имеющий целью оптимизацию внутренних параметров по некоторому критерию оптимальности. Однако при построении ММ ТО функция в (2.2) обычно заранее не известна и ее предстоит установить. Это наиболее сложная так называемая задача идентификации ММ (от латинского слова identifico - отождествляю, которому в данном случае придают смысл „распознаю").

Задача идентификации может быть решена путем математической обработки информации о ряде таких состояний ТО, для каждого из которых известны (например, измерены экспериментально) значения выходных, внутренних и внешних параметров. Один из таких способов связан с применением регрессионного анализа . Если информация о внутренних параметрах отсутствует или же внутреннее устройство ТО слишком сложно, то ММ такого ТО строят по принципу черного ящика - устанавливают соотношение между внешними и выходными параметрами путем исследования реакции ТО на внешние воздействия.

Теоретический путь построения ММ состоит в установлении связи между у, х и gв виде операторного уравнения

L(u(z))=0, (2.3)

где L - некоторый оператор (в общем случае нелинейный), О - нулевой элемент пространства, в котором действует этот оператор, z -вектор независимых переменных, в общем случае включающий время и пространственные координаты, а и - вектор фазовых переменных, включающий те параметры ТО, которые характеризуют его состояние. Но даже если возможно получить решение (2.3) и найти зависимость u(z) от z, то далеко не всегда удается представить ММ ТО в явном относительно вектора у виде (2.2). Поэтому именно (2.3) определяет в общем случае структуру ММ ТО, а (2.2) является более простым частным случаем такой модели.

2.3. Свойства математических моделей

Из сказанного ранее следует, что при изучении реально существующего или мыслимого технического объекта (ТО) математические методы применяют к его математической модели (ММ). Это применение будет эффективным, если свойства ММ удовлетворяют определенным требованиям. Рассмотрим основные из этих свойств.

Полнота ММ позволяет отразить в достаточной мере именно те характеристики и особенности ТО, которые интересуют нас с точки зрения поставленной цели проведения вычислительного эксперимента. Например, модель может достаточно полно описывать протекающие в объекте процессы, но не отражать его габаритные, массовые или стоимостные показатели. Так, ММ резистора в виде хорошо известной формулы U = IR закона Ома обладает свойством полноты лишь с точки зрения установления связи между падением электрического напряжения U на резисторе, его сопротивлением R и протекающим через него током силой I, но не дает никакой информации о размерах, массе, теплостойкости, стоимости и других характеристиках резистора, по отношению к которым она не является полной. Отметим попутно, что в рассматриваемой ММ сопротивление R резистора выступает в роли его внутреннего параметра, тогда как если задано U, то I будет выходным параметром, a U - внешним параметром, и наоборот.

Точность ММ дает возможность обеспечить приемлемое совпадение реальных и найденных при помощи ММ значений выходных параметров ТО, составляющих вектор

Пусть - найденное при помощи ММ и реальное значения i-го выходного параметра. Тогда относительная погрешность ММ по отношению к этому параметру будет равна

В качестве скалярной оценки вектора

можно принять какую-либо его норму, например

Поскольку выходные параметры ТО при помощи ММ связаны с его внешними и внутренними параметрами, т. е, как количественная характеристика точности модели этого ТО, будет зависеть от координат векторов х и y.

Адекватность ММ - это способность ММ описывать выходные параметры ТО с относительной погрешностью не более некоторого заданного значения . Пусть при некоторых ожидаемых номинальных значениях внешних параметров ТО, составляющих вектор х ном, из условия минимума путей решения задачи конечномерной оптимизации найдены значения внутренних параметров, составляющие вектор g ном иобеспечивающие минимальное значение e min относительной погрешности ММ. Тогда при фиксированном векторе δ можно построить множество

называемое областью адекватности данной ММ. Ясно, что при , а чем больше заданное значение , тем шире область адекватности ММ, т.е. эта ММ применима в более широком диапазоне возможного изменения внешних параметров ТО.

В более общем смысле под адекватностью ММ понимают правильное качественное и достаточно точное количественное описание именно тех характеристик ТО, которые важны в данном конкретном случае. Модель, адекватная при выборе одних характеристик, может быть неадекватной при выборе других характеристик того же ТО. В ряде прикладных областей, еще недостаточно подготовленных к применению количественных математических методов, ММ имеют главным образом качественный характер. Эта ситуация типична, например, для биологической и социальной сфер, в которых количественные закономерности не всегда поддаются строгой математической формализации. В таких случаях под адекватностью ММ естественно понимать лишь правильное качественное описание по­ведения изучаемых объектов или их систем. Экономичность ММ оценивают затратами на вычислительные ресурсы (машинное время и память), необходимые для реализации ММ на ЭВМ. Эти затраты зависят от числа арифметических операций при использовании модели, от размерности пространства фазовых переменных, от особенностей применяемой ЭВМ и других факторов. Очевидно, что требова­ния экономичности, высокой точности и достаточно широкой области адекватности ММ противоречивы и на практике могут быть удовлетворены лишь на основе разумного компромисса. Свойство экономичности ММ часто связывают с ее простотой. Более того, количественный анализ некоторых упрощенных вариантов ММ может быть осуществлен и без привлечения современной вычислительной техники. Однако его результаты могут иметь лишь ограниченную ценность на стадии отладки алгоритма или ЭВМ-программы (см. 1.2 и рис. 1.1), если упрощение ММ не согласовано с расчетной схемой ТО.

Робастность ММ (от английского слова robust - крепкий, устойчивый) характеризует ее устойчивость по отношению к погрешностям исходных данных, способность нивелировать эти погрешности и не допускать их чрезмерного влия­ния на результат вычислительного эксперимента. Причинами низкой робастности ММ могут быть необходимость при ее количественном анализе вычитания близких друг к другу приближенных значений величин или деления на малую по модулю величину, а также использование в ММ функций, быстро изменяющихся в промежутке, где значение аргумента известно с невысокой точностью. Иногда стремление увеличить полноту ММ приводит к снижению ее робастности вследствие введения дополнительных параметров, известных с невысокой точно­стью или входящих в слишком приближенные соотношения.

Продуктивность ММ связана с возможностью распола­гать достаточно достоверными исходными данными. Если они являются результатом измерений, то точность их измерения должна быть выше, чем для тех параметров, которые получа­ются при использовании ММ. В противном случае ММ будет непродуктивной и ее применение для анализа конкретного ТО теряет смысл. Ее можно будет использовать лишь для оценки характеристик некоторого класса ТО с гипотетическими исходными данными.

Наглядность ММ является ее желательным, но необязательным свойством. Тем не менее использование ММ и ее модификация упрощаются, если ее составляющие (например, отдельные члены уравнений) имеют ясный содержательный смысл. Это обычно позволяет ориентировочно предвидеть результаты вычислительного эксперимента и облегчает контроль их правильности.

В дальнейшем на конкретных примерах будут проиллюстрированы отмеченные выше свойства ММ (см. 3 и 6).

2.4. Структурные и функциональные

Различные особенности и признаки математических моделей (ММ) лежат в основе их типизации (или классификации). Среди таких признаков выделяют характер отображаемых свойств технического объекта (ТО), степень их детализации, способы получения и представления ММ.

Один из существенных признаков классификации связан с отражением в ММ тех или иных особенностей ТО. Если ММ отображает устройство ТО и связи между составляющими его элементами, то ее называют структурной математической моделью. Если же ММ отражает происходящие в ТО физические, механические, химические или информационные процессы, то ее относят к функциональным математическим моделям. Ясно, что могут существовать и комбиниро­ванные ММ, которые описывают как функционирование, так и устройство ТО. Такие ММ естественно называть структурно-функциональными математическими моделями.

Структурные ММ делят на топологические и геометрические составляющие два уровня иерархии ММ этого типа. Первые отображают состав ТО и связи между его элементами. Топологическую ММ целесообразно применять на начальной стадии исследования сложного по структуре ТО, состоящего из большого числа элементов, прежде всего для уяснения и уточнения их взаимосвязи. Такая ММ имеет форму графов, таблиц, матриц, списков и т.п., и ее построению обычно предшествует разработка структурной схемы ТО.

Геометрическая ММ дополнительно к информации, пред­ставленной в топологической ММ, содержит сведения о форме и размерах ТО и его элементах, об их взаимном расположении. В геометрическую ММ обычно входят совокупность уравнений линий и поверхностей и алгебрологические соотношения, определяющие принадлежность областей пространства телу ТО или его элементам. Такую ММ иногда задают координатами некоторого множества точек, по которым интерполированием можно построить ограничивающие область линии или поверхности. Границы области задают и кинематическим способом: линию - как траекторию движения точки, а поверхность - как результат перемещения линии. Возможно представление формы и размеров области совокупностью типовых фрагментов достаточно простой конфигурации. Такой способ характерен, например, для метода конечных элементов , широко используемого в математическом моделировании.

Геометрические ММ находят применение при проектировании ТО, разработке технической документации и технологических процессов изготовления деталей (например, на станках с числовым программным управлением).

Функциональные ММ состоят из соотношений, связывающих между собой фазовые переменные, т.е. внутренние, внешние и выходные параметры ТО. Функционирование сложных ТО нередко удается описать лишь при помощи совокупности его реакций на некоторые известные (или заданные) входные воздействия (сигналы). Такую разновидность функциональной ММ относят к типу черного ящика и обычно называют имитационной математической моделью, имея в виду, что она лишь имитирует внешние проявления функционирования ТО, не раскрывая и не описывая существа протекающих в нем процессов. Имитационные ММ находят широкое применение в технической кибернетике- научном направлении, изучающем системы управления сложными ТО.

По форме представления имитационная ММ является примером алгоритмической математической модели, поскольку связь в ней между внешними и выходными параметрами ТО удается описать лишь в форме алгоритма, пригодного для реализации в виде ЭВМ-программы. По этому признаку к типу алгоритмических относят более широкий класс как функциональных, так и структурных ММ. Если связи между параметрами ТО можно выразить в аналитической форме, то говорят об аналитических математических моделях. При построении иерархии ММ одного и того же ТО обычно стремятся к тому, чтобы упрощенный вариант ММ (см. 1.2) был представлен в аналитической форме, допускающей точное решение, которое можно было бы использовать для сравнения при тестировании результатов, полученных при помощи более полных и поэтому более сложных вариантов ММ.

Ясно, что ММ конкретного ТО по форме представления может включать признаки как аналитической, так и алгорит­мической ММ. Более того, на стадии количественного иссле­дования достаточно сложной аналитической ММ и проведения вычислительного эксперимента на ее основе разрабатывают алгоритм, который реализуют в виде ЭВМ-программы, т.е. в процессе математического моделирования аналитическую ММ преобразуют в алгоритмическую ММ.

2.5. Теоретические и эмпирические

По способу получения математические модели (ММ) делят на теоретические и эмпирические . Первые получают в результате изучения свойств технического объекта (ТО) и протекающих в нем процессов, а вторые являются итогом обработки результатов наблюдения внешних проявлений этих свойств и процессов. Один из способов построения эмпирических ММ заключается в проведении экспериментальных исследований, связанных с измерением фазовых переменных ТО, и в последующем обобщении результатов этих измерений в алгоритмической форме или в виде аналитических зависимостей. Поэтому эмпирическая ММ по форме представления может содержать признаки как алгоритмической, так и аналитической математической модели. Таким образом, построение эмпирической ММ сводится к решению задачи идентификации.

При построении теоретических ММ прежде всего стремятся использовать известные фундаментальные законы сохранения таких субстанций, как масса, электрический заряд, энергия, количество движения и момент количества движения. Кроме того, привлекают определяющие соотношения (называемые также уравнениями состояния), в роли которых могут выступать так называемые феноменологические законы (например, уравнение Клапейрона - Менделеева состояния совершенного газа, закон Ома о связи силы тока в проводнике и падения электрического напряжения, закон Гука о связи деформации и механического напряжения в линейно упругом материале, закон Фурье о связи градиента температуры в теле с плотностью теплового потока и т.п.).

Сочетание теоретических соображений качественного характера с обработкой результатов наблюдения внешних проявлений свойств изучаемого ТО приводит к смешанному типу ММ, называемых полуэмпирическими. При построении таких ММ используют основные положения теории размерностей, в том числе так называемую П-теорему (Пи-теорему*): если между п параметрами, характеризующими изучаемый объект, существует зависимость, имеющая физический смысл, то эту зависимость можно представить в виде зависимости между = п - к их безразмерными комбинациями, где к - число независимых единиц измерения, через которые можно выразить размерности этих параметров. При этом п определяет число независимых (не выражаемых друг через друга) безразмерных комбинаций, обычно называемых критериями подобия .

Объекты, для которых равны значения соответствующих критериев подобия, считают подобными. Например, любой треугольник однозначно определен длинами a, b и с его сторон, т.е n= 3, a k = 1. Поэтому, согласно -теореме, множество подобных треугольников можно задать значениями = п - к = 2 критериев подобия. В качестве таких критериев можно выбрать безразмерные отношения длин сторон: b/а и с/а или любые два других независимых отношения. Так как углы треугольника однозначно связаны с отношениями сторон и являются безразмерными величинами, то множество подобных тре­угольников можно определить равенством двух соответствующих углов или равенством угла и отношения длин прилегающих к нему сторон. Все перечисленные варианты соответствуют из­вестным признакам подобия треугольников.

Для успешного применения П-теоремы к построению моделей ТО необходимо располагать полным набором параметров, описывающих изучаемый объект, причем выбор этих параметров должен опираться на аргументированный качественный анализ тех свойств и особенностей ТО, влияние которых су­щественно в данном конкретном случае. Отметим, что такой анализ необходим при любом способе построения ММ, и про­иллюстрируем это положение примерами.

Пример 2.1. Рассмотрим хорошо известную расчетную схему математического маятника (рис. 2.1) в виде материальной точки массой , подвешенной на невесомом стержне постоянной длины , который может свободно вращаться относительно горизонтальной оси, проходящей через точку О. Отклонение маятника на угол от его вертикального положения

равновесия приведет к возрастанию потенциальной энергии материальной точки на величину где - ускорение свободного падения. Если после отклонения маятник начнет движение, то при отсутствии сопротивления он в силу закона сохранения энергии будет совершать незатухающие колебания относительно положения равновесия (точка А на рис. 2.1). При прохождении положения равновесия скорость v материальной точки является наибольшей по абсолютной величине, поскольку в этом положении кинетическая энергия этой точки равна , так

Пусть необходимо установить зависимость периода Т колебаний маятника (т.е. наименьшего промежутка времени, через который маятник возвращается в некоторое фиксированное положение, не совпадающее с положением равновесия) от параметров (параметр v следует исключить из рассмотрения, поскольку его удалось выразить через указанные выше параметры). Размерности [.] четырех указанных параметров и периода Т колебаний можно выразить через к = 3 независимые стандартные единицы измерения: [Т] = с, [т] = кг, [l] = мс, = 0 и [g] = м/с 2 . Поэтому в силу П-теоремы из п = 5 параметров можно составить безразмерные комбинации, причем угол , будучи безразмерным, является одной из них. Во вторую безразмерную комбинацию не удается включить массу m материальной точки, поскольку единица измерения массы (кг) входит лишь в размерность массы. Следовательно, величина m не является аргументом искомой зависимости, что можно установить и при построении теоретической ММ рассматриваемого маятника (см. пример 5.12). После исключения параметра m имеем п = 4 и к = 2, т.е. снова п = 2, так что наряду с безразмерным параметром остальные

Пример 2.3. Пусть поток несжимаемой жидкости обтека­ет неподвижное твердое тело заданной формы, имеющее характерный размер и постоянную температуру То (рис. 2.3). Скорость v и температура Т ж > То жидкости на большом (по сравнению с I) расстоянии от тела сохраняют постоянные значения. Необходимо при некотором фиксированном положении тела относительно направления вектора v скорости найти количество теплоты Q, передаваемое в единицу времени от жидкости к телу и называемое тепловым потоком.

Процесс передачи теплоты локализован у поверхности тела и зависит не только от перечисленных параметров, но и от объемной теплоемкости с и коэффициента теплопроводности жидкости, поскольку эти параметры характеризуют способность жидкости подводить тепловую энергию и передавать ее поверхности тела. Подвод тепловой энергии к телу также зависит от распределения скорости жидкости у его поверхности. В случае идеальной (невязкой) жидкости оно однозначно определено фиксированным положением тела относительно вектора v, а для вязкой жидкости зависит и от соотношения между силами вязкости и инерции, характеризуемого коэффициентом вязкости , называемым кинематическим и измеряемым в м 2 /с.

При сравнительно близких значениях Т ж и То естественно предположить, что тепловой поток зависит не от каждой из этих температур, а от их разности . Тогда в случае идеальной жидкости имеем п = 6 размерных параметров, размерности которых можно выразить через к = 4 независимые стандартные единицы измерения: [l] = м, [v] = м/с,

K, [Q]=Дж/с=Вт=н м/с, [c]=Дж/(м 3 К)=кг/(м с 2 К), =Вт/(м К)=кг м/(с 3 К), где Дж (джоуль) и Вт (ватт) - единицы измерения энергии (работы) и мощности соответственно, а К (кельвин) - единица измерения температуры в абсолютной шкале. В силу П-теоремы из этих параметров можно составить лишь п = п - к = 2 независимые безразмерные комбинации, например и . В итоге приходим к функциональной зависимости

установленной в 1915 г. Дж.У. Стреттом.

Отношение q = Q/S называют усредненной по площади S поверхности тела плотностью теплового потока и измеряют в Вт/м 2 . Так как для геометрически подобных тел , то (2.7) можно представить в виде

где Ki - тепловой критерий Кирпичева и Ре - критерий Пекле. Интенсивность теплообмена на поверхности тела обычно характеризуют усредненным коэффициентом теплоотдачи - , измеряемым в Вт/(м 2 К). Тогда вместо (2.8) получим

где Nu - критерий (число) Нуссельта. Вид функции в (2.7)-(2.9) нельзя установить в рамках теории размерностей и его приходится определять путем обработки результатов экспериментов, хотя в некоторых простых случаях удается построить и теоретические ММ процесса теплообмена.

В случае вязкой жидкости имеем п = 7 размерных параметров, размерности которых по-прежнему можно выразить через к = 4 независимые единицы измерения, т.е. число независмых безразмерных комбинаций равно . К рассмотренным выше следует добавить любую безразмерную комбинацию, включающую новый параметр и. Эту комбинацию можно выбрать, например, в виде или . В первом случае ее называют критерием (числом) Рейнолъдса и обозначают Re = , а во втором - критерием (числом)Прандтля и обозначают Рг = . Критерий Прандтля характеризует только свойства жидкости, а критерий Рейнольдса - соотношение между инерционными силами и силами вязкого трения. В итоге вместо (2.9) получим

Так как Ре = RePr, то в случае вязкой жидкости критерий Нуссельта может быть представлен функцией любых двух из трех аргументов Ре, Re, Pr.

Ясно, что при наличии трех и более безразмерных комбинаций параметров построение полуэмпирической ММ существенно усложняется. В этом случае обычно выделяют так называемый определяемый критерий (в примере 2.3 это Ki или Nu), a остальные критерии относят к определяющим и проводят несколько серий экспериментальных измерений для установления функциональной зависимости определяемого критерия от двух или более определяющих, рассматриваемых в качестве аргументов искомой функции (в (2.10) это функции ). В каждой серии измерений размерные параметры изменяют таким образом, чтобы изменялось значение лишь одного из определяющих критериев. Тогда обработка результатов такой серии измерений позволяет выявить функциональную зависимость определяемого критерия от одного из аргументов при фиксированных значениях остальных. В итоге в некоторой области изменения значений определяющих критериев удается с некоторой степенью приближения построить искомую функцию, т.е. решить задачу идентификации полуэмпирической ММ.

Отметим, что применение -теоремы к аналитической ММ, представленной в виде уравнений, позволяет привести их к безразмерной форме и сократить число параметров, характеризующих изучаемый ТО. Это упрощает качественный анализ и позволяет еще до проведения количественного анализа оценить влияние отдельных факторов (см. Д.2.2). Кроме того, безразмерная форма ММ дает возможность представить в более компактном виде результаты ее количественного анализа.

2.6. Особенности функциональных моделей

Одной из характерных особенностей функциональной математической модели (ММ) является наличие или отсутствие среди ее параметров случайных величин. При наличии таких величин ММ называют стохастической , а при их отсутствии - детерминированной .

Далеко не все параметры реальных технических объектов (ТО) можно характеризовать вполне определенными значениями. Поэтому ММ таких ТО, строго говоря, следует отнести к стохастическим. Например, если изучаемый ТО является изделием массового производства и его внутренние параметры могут принимать случайные значения в пределах допусков, установленных относительно номинальных значений, то и выходные параметры ТО будут случайными величинами. Случайными могут быть и значения внешних параметров при воздействии на ТО таких факторов, как порывы ветра, турбулентные пульсации, сигналы на фоне шума и т.п.

Для анализа стохастических ММ необходимо использовать методы теории вероятностей, случайных процессов и математической статистики. Однако основная трудность их применения обычно связана с тем, что вероятностные характеристики случайных величин (математические ожидания, дисперсии, законы распределения) часто не известны или известны с невысокой точностью, т.е. ММ не удовлетворяет требованию продуктивности ММ. В таких случаях эффективнее использовать ММ, более грубую по сравнению со стохастической, но и более устойчивую по отношению к недостоверности исходных данных, т.е. в большей мере удовлетворяющую требованию робастности.

Существенным признаком классификации ММ является их возможность описывать изменение параметров ТО во времени. Рассмотренная в примере 2.4 ММ теплообмена тела с окружающей средой учитывает такое изменение, и ее относят к нестационарным (или эволюционным) математическим моделям. Если при этом в ММ отражено влияние инерционных свойств ТО, то ее обычно называют динамической. В противоположность этому ММ, которая не учитывает изменение во времени параметров ТО, называют статической. Рассмотренные в примерах 2.2 и 2.3 ММ являются статическими. Несмотря на движение воздушного потока и жидкости, обтекающих профиль крыла и нагреваемое тело соответственно, все параметры, характеризующие эти процессы остаются постоянными во времени.

Если изменение параметров ТО происходит столь медленно, что в рассматриваемый фиксированный момент времени этим изменением можно пренебречь, то говорят о квазистатической математической модели. Например, в медленно протекающих механических процессах можно пренебречь инерционными силами, при малой скорости изменения температуры - тепловой инерцией тела, а при медленно изменя­ющейся силе тока в электрической цепи - индуктивностью элементов этой цепи. Стационарные математические модели описывают ТО, в которых протекают так называемые установившиеся процессы, т.е. процессы, в которых инте­ресующие нас выходные параметры постоянны во времени. К установившимся относят и периодические процессы, в которых некоторые выходные параметры остаются неизменными, а остальные претерпевают колебания. Например, ММ математического маятника (см. пример 2.1) является стационарной по отношению к не зависящим от времени периоду и полуразмаху колебаний, хотя материальная точка перемещается во времени относительно положения равновесия.

Если интересующие нас выходные параметры ТО изменя­ются медленно и в рассматриваемый фиксированный момент времени таким изменением можно пренебречь, то говорят о квазистационарной математической модели. При описании некоторых процессов нестационарная ММ может быть преобразована в квазистационарную соответствующим выбо­ром системы координат. Например, при дуговой электросварке температурное поле в свариваемых стальных листах в окрест­ности движущегося с постоянной скоростью электрода в непо­движной системе координат описывает нестационарная ММ, а в подвижной системе координат, связанной с электродом, - квазистационарная ММ.

Важным с точки зрения последующего анализа свойством ММ является ее линейность. В ТО его параметры связаны линейными соотношения­ми. Это означает, что при изменении какого-либо внешнего (или внутреннего) параметра ТО линейная ММ предсказывает линейное изменение зависящего от него выходного параметра, а при изменении двух или более параметров - сложение их вли­яний, т.е. такая ММ обладает свойством суперпозиции (от латинского слова superpositio - наложение). Если ММ не обла­дает свойством суперпозиции, то ее называют нелинейной.

Для количественного анализа линейных ММ разработано большое число математических методов, тогда как возможно­сти анализа нелинейных ММ связаны в основном с методами вычислительной математики. Чтобы для исследования нели­нейной ММ ТО можно было использовать аналитические методы, ее обычно линеаризуют, т.е. нелинейные соотношения между параметрами заменяют приближенными линейными и получают так называемую линеаризованную математическую модель рассматриваемого ТО. Так как линеаризация связана с внесением дополнительных погрешностей, то к результатам анализа линеаризованной модели следует относиться с определенной осторожностью. Дело в том, что линеаризация ММ может привести к утрате или существенному искажению реальных свойств ТО. Учет в ММ нелинейных эффектов особенно важен, например, при описании смены форм движения или положений равновесия ТО, когда малые изменения внешних параметров могут вызвать качественные изменения в его состоянии.

Каждый параметр ТО может быть двух типов - непрерывно изменяющимся в некотором промежутке своих значений или принимающим только некоторые дискретные значения. Возможна и промежуточная ситуация, когда в одной области параметр принимает все возможные значения, а в другой - только дискретные. В связи с этим выделяют непрерывные, дискретные и смешанные математические модели. В процессе анализа ММ этих типов могут быть преобразованы одна в другую, но при таком преобразовании следует контролировать выполнение требования адекватности ММ рассматриваемому ТО.

2.7. Иерархия математических моделей и формы их представления

При математическом моделировании достаточно сложного технического объекта (ТО) описать его поведение одной математической моделью (ММ), как правило, не удается, а если такая ММ и была бы построена, то она оказалась бы слиш­ком сложной для количественного анализа. Поэтому к таким ТО обычно применяют принцип декомпозиции. Он состоит в условном разбиении ТО на отдельные более простые блоки и элементы, допускающие их независимое исследование с последующим учетом взаимного влияния блоков и элементов друг на друга. В свою очередь, принцип декомпозиции можно применить и к каждому выделенному блоку вплоть до уровня достаточно простых элементов. В таком случае возникает иерархия ММ связанных между собой блоков и элементов.

Иерархические уровни выделяют и для отдельных типов ММ. Например, среди структурных математических моделей ТО к более высокому уровню иерархии относят топологические математические модели, а к более низкому уровню, характеризующемуся большей детализацией ТО, - геометрические математические модели.

Среди функциональных математических моделей иерархи­ческие уровни отражают степень детализации описания процессов, протекающих в ТО, его блоках или элементах. С этой точки зрения обычно выделяют три основных уровня: микро-, макро- и метауровень.

Математические модели микроуровня описывают процессы в системах с распределенными параметрами (в континуальных системах), а математические модели макроуровня - в системах с сосредоточенными параметрами (в дискретных системах). В первых из них фазовые переменные могут зависеть как от времени, так и от пространственных координат, а во вторых - только от времени.

Если в ММ макроуровня число фазовых переменных имеет порядок 10 4 -10 5 , то количественный анализ такой ММ становится громоздким и требует значительных затрат вычислительных ресурсов. Кроме того, при столь большом числе фазовых переменных трудно выделить существенные характери­стики ТО и особенности его поведения. В таком случае путем объединения и укрупнения элементов сложного ТО стремятся уменьшить число фазовых переменных за счет исключения из рассмотрения внутренних параметров элементов, ограничиваясь лишь описанием взаимных связей между укрупненными элементами. Такой подход характерен для математических моделей метауровня.

ММ метауровня обычно относят к высшему уровню иерар­хии, ММ макроуровня - к среднему, а ММ микроуровня - к низшему. Наиболее распространенной формой представления динамической (эволюционной) математической модели микроуровня является формулировка краевой задачи для дифференциальных уравнений математической физики . Такая формулировка включает дифференциальные уравнения с частными производ­ными и краевые условия. В свою очередь, краевые условия со­держат начальные условия - распределения искомых фазовых переменных в некоторый момент времени, принимаемый за на­чальный, в пространственной области, конфигурация которой соответствует рассматриваемому ТО или его элементу, - и граничные условия на границах этой области. При представлении ММ целесообразно использовать безразмерные переменные (независимые и искомые) и коэффициенты уравнений, сократив число параметров, характеризующих рассматриваемый ТО (см. Д.2.2).

ММ микроуровня называют одномерной, двумерной или трехмерной, если искомые фазовые переменные зависят от одной, двух или трех пространственных координат соответственно. Два последних типа ММ объединяют в многомерные математические модели микроуровнл. Одномерная ММ микроуровня, фазовые переменные в которой не зависят от времени, имеет представление в виде системы ОДУ с заданными граничными условиями (в простейшем случае одного фазового переменного такая ММ включает лишь одно ОДУ и граничные условия).

Поскольку краевой задаче, содержащей дифференциальные уравнения с частными производными и краевые условия, можно поставить в соответствие интегральную формулировку, то и ММ микроуровня также может быть представлена в ин­тегральной форме. При определенных условиях интегральную форму краевой задачи удается привести к вариационной фор­мулировке в виде функционала, который допустимо рас­сматривать на некотором множестве функций, содержащем искомую функцию. В этом случае говорят о вариационной форме модели микроуровня. Искомая функция обращает в нуль вариацию функционала, т.е. является его стационарной точкой.

Построение функционала и соответствующей ему вариационной формы модели микроуровня обычно основано на некотором содержательном с физической точки зрения вариационном принципе механики или электродинамики сплошной среды (например, на принципе минимума потенциальной энергии континуальной системы в положении равновесия или на принципе минимума времени прохождения светового луча между двумя точками оптически неоднородной среды). В этом случае стационарная точка функционала соответствует его экстремальному (в частности, минимальному) значению на допустимом множе­стве функций. Такая форма модели микроуровня, называемая экстремальной вариационной, позволяет, сравнивая значения функционала на любых двух функциях из допустимого множества, оценивать в интегральном смысле близость этих функций к искомой. Это свойство экстремальной вариационной формы модели важно при качественном анализе ММ и при сравнении различных приближенных решений соответствующей краевой задачи*.

При выполнении некоторых ограничений можно построить двойственную вариационную форму модели микроуровня, включающую пару функционалов, достигающих в одной и той же стационарной точке равных между собой альтернативных экстремальных значений (минимума и максимума) . Такая форма ММ дает возможность по разности значений этих Функционалов, вычисленных на некоторой функции из допусти­мого множества, количественно оценить погрешность, возника­ющую при выборе этой функции в качестве искомой.

Основной формой динамической (эволюционной) ММ макроуровня являются ОДУ или их системы вместе с заданными начальными условиями. Независимым переменным в таких ММ будет время, а искомыми - фазовые переменные, характеризующие состояние ТО (например, перемещения, скорости и ускорения элементов механических устройств, а также приложенные к этим элементам силы и моменты; давление и расход жидкости или газа в трубопроводе; напряжения и силы тока в электрических цепях и т.п.). В некоторых случаях ММ макроуровня удается представить в интегральной форме, используя принцип Гамильтона - Остроградского или экстремальный вариационный принцип Гамильтона.

Если эволюцию ТО определяет его состояние не только в текущий момент времени t, но и в некоторый предшествующий момент t - τ , то ММ макроуровня включает ОДУ вида

относительно искомой функции u(t). Такие ОДУ называют уравнениями запаздывающего и нейтрального типа соответственно и относят к дифференциально-функциональным уравнениям* (ДФУ) (или дифференциальным уравнениям с отклоняющимся аргументом). Наиболее широко ДФУ и их системы представлены в ММ систем автоматического управления и регулирования. Кроме того, ДФУ находят применение в моделях биологических и экономических процессов.

Запаздывающая реакция ТО на изменение своего состояния может определяться более чем одним интервалом времени . Тогда ДФУ будет включать не одно, а несколько дискретных запаздываний. В более общем случае запаздывание может быть непрерывным во времени, что приводит, например, для линейной математической модели к интегро-дифференциальному уравнению (ИДУ) вида

Заданную функцию K(t,r) называют ядром этого ИДУ, а о рассматриваемом ТО говорят, что он обладает памятью, поскольку его эволюция зависит от всей предыстории изменения состояний ТО.

В статическую математическую модель макроуровня не входит время. Поэтому она включает лишь конечное (в общем случае нелинейное) уравнение или систему таких уравнений (в частности, систему линейных алгебраических уравнений - СЛАУ). Такой же вид имеют квазистатическая, стационарная и квазистационарная математические модели макроуровня.

Если для рассматриваемого ТО удается выделить поддающееся количественной характеристике некоторое важное свойство или сочетание таких свойств (надежность, долговечность, массу, стоимость, какой-либо из определяющих качество ТО выходных параметров) и установить их связь с фазовыми переменными при помощи действительной функции, то можно говорить об оптимизации ТО по критерию, выражаемому этой функцией. Ее называют целевой функцией , поскольку ее значения характеризуют меру (или степень) достижения определенной цели совершенствования ТО в соответствии с выбранным критерием.

Вследствие ограниченности располагаемых ресурсов в ре­альной ситуации имеют смысл лишь те экстремальные значения целевой функции, которые достигаются в области возможного изменения фазовых переменных ТО, обычно ограниченной системой неравенств. Эти неравенства вместе с целевой функцией и статической ММ ТО в виде конечного нелинейного Уравнения или систем таких уравнений входят в математическую формулировку задачи оптимизации ТО по выбранному критерию, называемой (в общем случае) задачей нелинейного программирования. В частном случае линейной математической модели ТО в виде СЛАУ, линейных целевой функции и неравенств говорят о задаче линейного программирования. К таким задачам обычно приходят при рассмотрении проблем технико-экономического содержания. Задачу оптимизации ТО, описываемого динамической (эволюционной) ММ макроуровня, относят к классу задач оптимального управления.

Для ММ метауровня характерны те же типы уравнений, что и для ММ макроуровня, но эти уравнения включают фазовые переменные, описывающие состояние укрупненных элементов сложных ТО. Если определен закон непрерывного перехода ТО из одного состояния в другое, то для анализа ММ метауровня часто используют аппарат передаточных функций*, а при рассмотрении состояний ТО в дискретные моменты времени ОДУ и их системы переходят в разностные уравнения относительно значений фазовых переменных в эти моменты времени. В слу­чае дискретного множества состояний ТО применяют также аппарат математической логики и конечных автоматов.