Вычислить неопределенный интеграл примеры решений с дробями. Интегрирование простейших (элементарных) дробей. Простейшие рациональные дроби и их интегрирование
Рассмотрены примеры интегрирования рациональных функций (дробей) с подробными решениями.
СодержаниеСм. также: Корни квадратного уравнения
Здесь мы приводим подробные решения трех примеров интегрирования следующих рациональных дробей:
,
,
.
Пример 1
Вычислить интеграл:
.
Здесь под знаком интеграла стоит рациональная функция, поскольку подынтегральное выражение является дробью из многочленов. Степень многочлена знаменателя (3 ) меньше степени многочлена числителя (4 ). Поэтому, вначале необходимо выделить целую часть дроби.
1.
Выделим целую часть дроби. Делим x 4
на x 3 - 6
x 2 + 11
x - 6
:
Отсюда
.
2.
Разложим знаменатель дроби на множители. Для этого нужно решить кубическое уравнение:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6
.
Подставим x = 1
:
.
1
.
Делим на x - 1
:
Отсюда
.
Решаем квадратное уравнение .
.
Корни уравнения: ,
.
Тогда
.
3.
Разложим дробь на простейшие.
.
Итак, мы нашли:
.
Интегрируем.
Пример 2
Вычислить интеграл:
.
Здесь в числителе дроби - многочлен нулевой степени (1 = x 0 ). В знаменателе - многочлен третьей степени. Поскольку 0 < 3 , то дробь правильная. Разложим ее на простейшие дроби.
1.
Разложим знаменатель дроби на множители. Для этого нужно решить уравнение третьей степени:
.
Предположим, что оно имеет хотя бы один целый корень. Тогда он является делителем числа 3
(члена без x
). То есть целый корень может быть одним из чисел:
1, 3, -1, -3
.
Подставим x = 1
:
.
Итак, мы нашли один корень x = 1
.
Делим x 3 + 2
x - 3
на x - 1
:
Итак,
.
Решаем квадратное уравнение:
x 2 +
x + 3 = 0
.
Находим дискриминант: D = 1 2 - 4·3 = -11
.
Поскольку D < 0
,
то уравнение не имеет действительных корней. Таким образом, мы получили разложение знаменателя на множители:
.
2.
.
(x - 1)(x 2 +
x + 3)
:
(2.1)
.
Подставим x = 1
.
Тогда x - 1 = 0
,
.
Подставим в (2.1)
x = 0
:
1 = 3
A - C
;
.
Приравняем в (2.1)
коэффициенты при x 2
:
;
0 =
A + B
;
.
.
3.
Интегрируем.
(2.2)
.
Для вычисления второго интеграла, выделим в числителе производную знаменателя и приведем знаменатель к сумме квадратов.
;
;
.
Вычисляем I 2
.
.
Поскольку уравнение x 2 +
x + 3 = 0
не имеет действительных корней, то x 2 +
x + 3 > 0
.
Поэтому знак модуля можно опустить.
Поставляем в (2.2)
:
.
Пример 3
Вычислить интеграл:
.
Здесь под знаком интеграла стоит дробь из многочленов. Поэтому подынтегральное выражение является рациональной функцией. Степень многочлена в числителе равна 3 . Степень многочлена знаменателя дроби равна 4 . Поскольку 3 < 4 , то дробь правильная. Поэтому ее можно раскладывать на простейшие дроби. Но для этого нужно разложить знаменатель на множители.
1.
Разложим знаменатель дроби на множители. Для этого нужно решить уравнение четвертой степени:
.
Предположим, что оно имеет хотя бы один целый корень. Тогда он является делителем числа 2
(члена без x
). То есть целый корень может быть одним из чисел:
1, 2, -1, -2
.
Подставим x = -1
:
.
Итак, мы нашли один корень x = -1
.
Делим на x - (-1)
= x + 1
:
Итак,
.
Теперь нужно решить уравнение третьей степени:
.
Если предположить, что это уравнение имеет целый корень, то он является делителем числа 2
(члена без x
). То есть целый корень может быть одним из чисел:
1, 2, -1, -2
.
Подставим x = -1
:
.
Итак, мы нашли еще один корень x = -1
.
Можно было бы, как и в предыдущем случае, разделить многочлен на ,
но мы сгруппируем члены:
.
Поскольку уравнение x 2 + 2 = 0
не имеет действительных корней, то мы получили разложение знаменателя на множители:
.
2.
Разложим дробь на простейшие. Ищем разложение в виде:
.
Освобождаемся от знаменателя дроби, умножаем на (x + 1) 2 (x 2 + 2)
:
(3.1)
.
Подставим x = -1
.
Тогда x + 1 = 0
,
.
Продифференцируем (3.1)
:
;
.
Подставим x = -1
и учтем, что x + 1 = 0
:
;
;
.
Подставим в (3.1)
x = 0
:
0 = 2
A + 2
B + D
;
.
Приравняем в (3.1)
коэффициенты при x 3
:
;
1 =
B + C
;
.
Итак, мы нашли разложение на простейшие дроби:
.
3.
Интегрируем.
.
Напомним, что дробно-рациональными называют функции вида $$ f(x) = \frac{P_n(x)}{Q_m(x)}, $$ в общем случае являющиеся отношением двух многочленов %%P_n(x)%% и %%Q_m(x)%%.
Если %%m > n \geq 0%%, то рациональную дробь называют правильной , в противном случае — неправильной. Используя правило деления многочленов , неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена %%P_{n - m}%% степени %%n - m%% и некоторой правильной дроби, т.е. $$ \frac{P_n(x)}{Q_m(x)} = P_{n-m}(x) + \frac{P_l(x)}{Q_n(x)}, $$ где степень %%l%% многочлена %%P_l(x)%% меньше степени %%n%% многочлена %%Q_n(x)%%.
Таким образом, неопределенный интеграл от рациональной функции можно представить суммой неопределенных интегралов от многочлена и от правильной рациональной дроби.
Интегралы от простейших рациональных дробей
Среди правильных рациональных дробей выделяют четыре типа, которые относят к простейшим рациональным дробям :
- %%\displaystyle \frac{A}{x - a}%%,
- %%\displaystyle \frac{A}{(x - a)^k}%%,
- %%\displaystyle \frac{Ax + B}{x^2 + px + q}%%,
- %%\displaystyle \frac{Ax + B}{(x^2 + px + q)^k}%%,
где %%k > 1%% — целое и %%p^2 - 4q < 0%%, т.е. квадратные уравнения не имеют действительных корней.
Вычисление неопределенных интегралов от дробей первых двух типов
Вычисление неопределенных интегралов от дробей первых двух типов не вызывает затруднений: $$ \begin{array}{ll} \int \frac{A}{x - a} \mathrm{d}x &= A\int \frac{\mathrm{d}(x - a)}{x - a} = A \ln |x - a| + C, \\ \\ \int \frac{A}{(x - a)^k} \mathrm{d}x &= A\int \frac{\mathrm{d}(x - a)}{(x - a)^k} = A \frac{(x-a)^{-k + 1}}{-k + 1} + C = \\ &= -\frac{A}{(k-1)(x-a)^{k-1}} + C. \end{array} $$
Вычисление неопределенного интегралов от дробей третьего типа
Дробь третьего типа сначала преобразуем, выделив полный квадрат в знаменателе: $$ \frac{Ax + B}{x^2 + px + q} = \frac{Ax + B}{(x + p/2)^2 + q - p^2/4}, $$ так как %%p^2 - 4q < 0%%, то %%q - p^2/4 > 0%%, которое обозначим как %%a^2%%. Заменив также %%t = x + p/2, \mathrm{d}t = \mathrm{d}x%%, преобразуем знаменатель и запишем интеграл от дроби третьего типа в форме $$ \begin{array}{ll} \int \frac{Ax + B}{x^2 + px + q} \mathrm{d}x &= \int \frac{Ax + B}{(x + p/2)^2 + q - p^2/4} \mathrm{d}x = \\ &= \int \frac{A(t - p/2) + B}{t^2 + a^2} \mathrm{d}t = \int \frac{At + (B - A p/2)}{t^2 + a^2} \mathrm{d}t. \end{array} $$
Последний интеграл, используя линейность неопределенного интеграла, представим в виде суммы двух и в первом из них введем %%t%% под знак дифференциала: $$ \begin{array}{ll} \int \frac{At + (B - A p/2)}{t^2 + a^2} \mathrm{d}t &= A\int \frac{t \mathrm{d}t}{t^2 + a^2} + \left(B - \frac{pA}{2}\right)\int \frac{\mathrm{d}t}{t^2 + a^2} = \\ &= \frac{A}{2} \int \frac{\mathrm{d}\left(t^2 + a^2\right)}{t^2 + a^2} + - \frac{2B - pA}{2}\int \frac{\mathrm{d}t}{t^2 + a^2} = \\ &= \frac{A}{2} \ln \left| t^2 + a^2\right| + \frac{2B - pA}{2a} \text{arctg}\frac{t}{a} + C. \end{array} $$
Возвращаясь к исходной переменной %%x%%, в итоге для дроби третьего типа получаем $$ \int \frac{Ax + B}{x^2 + px + q} \mathrm{d}x = \frac{A}{2} \ln \left| x^2 + px + q\right| + \frac{2B - pA}{2a} \text{arctg}\frac{x + p/2}{a} + C, $$ где %%a^2 = q - p^2 / 4 > 0%%.
Вычисление интеграла 4 типа сложно, поэтому в этом курсе не рассматривается.
Для интегрирования рациональной функции \(\large\frac{{P\left(x \right)}}{{Q\left(x \right)}}\normalsize,\) где \({P\left(x \right)}\) и \({Q\left(x \right)}\) − полиномы, используется следующая последовательность шагов:
Если дробь неправильная (т.е. степень \({P\left(x \right)}\) больше степени \({Q\left(x \right)}\)), преобразовать ее в правильную, выделив целое выражение;
Разложить знаменатель \({Q\left(x \right)}\) на произведение одночленов и/или несократимых квадратичных выражений;
Разложить рациональную дробь на простейшие дроби, используя ;
Вычислить интегралы от простейших дробей.
Шаг 1. Преобразование неправильной рациональной дроби
Если дробь неправильная (т.е. степень числителя \({P\left(x \right)}\) больше степени знаменателя \({Q\left(x \right)}\)), разделим многочлен \({P\left(x \right)}\) на \({Q\left(x \right)}.\) Получим следующее выражение: \[\frac{{P\left(x \right)}}{{Q\left(x \right)}} = F\left(x \right) + \frac{{R\left(x \right)}}{{Q\left(x \right)}},\] где \(\large\frac{{R\left(x \right)}}{{Q\left(x \right)}}\normalsize\) − правильная рациональная дробь.
Шаг 2. Разложение знаменателя на простейшие дроби
Запишем многочлен знаменателя \({Q\left(x \right)}\) в виде \[ {Q\left(x \right) } = {{\left({x - a} \right)^\alpha } \cdots {\left({x - b} \right)^\beta }{\left({{x^2} + px + q} \right)^\mu } \cdots {\left({{x^2} + rx + s} \right)^\nu },} \] где квадратичные функции являются несократимыми, то есть не имеющими действительных корней.
Шаг 3. Разложение рациональной дроби на сумму простейших дробей.
Запишем рациональную функцию в следующем виде: \[ {\frac{{R\left(x \right)}}{{Q\left(x \right)}} = \frac{A}{{{{\left({x - a} \right)}^\alpha }}} + \frac{{{A_1}}}{{{{\left({x - a} \right)}^{\alpha - 1}}}} + \ldots }\kern0pt {+ \frac{{{A_{\alpha - 1}}}}{{x - a}} + \ldots }\kern0pt {+ \frac{B}{{{{\left({x - b} \right)}^\beta }}} + \frac{{{B_1}}}{{{{\left({x - b} \right)}^{\beta - 1}}}} + \ldots }\kern0pt {+ \frac{{{B_{\beta - 1}}}}{{x - b}} }\kern0pt {+ \frac{{Kx + L}}{{{{\left({{x^2} + px + q} \right)}^\mu }}} + \frac{{{K_1}x + {L_1}}}{{{{\left({{x^2} + px + q} \right)}^{\mu - 1}}}} + \ldots }\kern0pt {+ \frac{{{K_{\mu - 1}}x + {L_{\mu - 1}}}}{{{x^2} + px + q}} + \ldots }\kern0pt {+ \frac{{Mx + N}}{{{{\left({{x^2} + rx + s} \right)}^\nu }}} + \frac{{{M_1}x + {N_1}}}{{{{\left({{x^2} + rx + s} \right)}^{\nu - 1}}}} + \ldots }\kern0pt {+ \frac{{{M_{\nu - 1}}x + {N_{\nu - 1}}}}{{{x^2} + rx + s}}.} \] Общее число неопределенных коэффициентов \({A_i},\) \({B_i},\) \({K_i},\) \({L_i},\) \({M_i},\) \({N_i}, \ldots\) должно быть равно степени знаменателя \({Q\left(x \right)}.\)
Затем умножим обе части полученного уравнения на знаменатель \({Q\left(x \right)}\) и приравняем коэффициенты при слагаемых с одинаковыми степенями \(x.\) В результате мы получим систему линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов \({A_i},\) \({B_i},\) \({K_i},\) \({L_i},\) \({M_i},\) \({N_i}, \ldots\) Данная система всегда имеет единственное решение. Описанный алгоритм представляет собой метод неопределенных коэффициентов .
Шаг 4. Интегрирование простейших рациональных дробей.
Простейшие дроби, полученные при разложении произвольной правильной рациональной дроби, интегрируются с помощью следующих шести формул: \ \ У дробей с квадратичным знаменателем сначала необходимо выделить полный квадрат: \[\int {\frac{{Ax + B}}{{{{\left({{x^2} + px + q} \right)}^k}}}dx} = \int {\frac{{At + B"}}{{{{\left({{t^2} + {m^2}} \right)}^k}}}dt} ,\] где \(t = x + \large\frac{p}{2}\normalsize,\) \({m^2} = \large\frac{{4q - {p^2}}}{4}\normalsize,\) \(B" = B - \large\frac{{Ap}}{2}\normalsize.\) Затем применяются следующие формулы: \ \[ {4.\;\;\int {\frac{{tdt}}{{{{\left({{t^2} + {m^2}} \right)}^k}}}} } = {\frac{1}{{2\left({1 - k} \right){{\left({{t^2} + {m^2}} \right)}^{k - 1}}}} } \] \ Интеграл \(\large\int\normalsize {\large\frac{{dt}}{{{{\left({{t^2} + {m^2}} \right)}^k}}}\normalsize} \) может быть вычислен за \(k\) шагов с помощью формулы редукции \[ {6.\;\;\int {\frac{{dt}}{{{{\left({{t^2} + {m^2}} \right)}^k}}}} } = {\frac{t}{{2{m^2}\left({k - 1} \right){{\left({{t^2} + {m^2}} \right)}^{k - 1}}}} } {+ \frac{{2k - 3}}{{2{m^2}\left({k - 1} \right)}}\int {\frac{{dt}}{{{{\left({{t^2} + {m^2}} \right)}^{k - 1}}}}} } \]